Warum reicht die Antikommutativität von Spinoren nicht als "Spin-Statistik-Theorem" aus?

Sie bringen viele verschiedene Aspekte zusammen.

Zunächst einmal sind Spinoren nur Elemente der fundamentalen Darstellung der universellen Hüllengruppe der Lorentzgruppe, also SL(2,$\mathbf{C}$). Es gibt zwei unäquivalente grundlegende Darstellungen einer solchen Gruppe, nämlich die definierende ($(1/2,0)$; Elemente sind$\xi^i$, komplexe -daher kommutierende- Zahlen) und das Konjugierte ($(0,1/2)$; Elemente sind$\bar \xi^i$, komplexe -daher pendelnde- Zahlen). Den Spin dieser Darstellungen bezeichnen wir als$1/2$, also möchten wir damit Fermionen beschreiben.

Bisher wurde keine Antikommutativität eingeführt.

Aus der QFT ist bekannt, dass Mikrokausalität respektiert wird, wenn wir fermionische Felder mit Antikommutierungsbeziehungen wie quantisieren

$$\begin{equation} \{\Psi(t, \vec x),\Psi^\dagger(t, \vec y)\} \sim i\hbar\delta^3(\vec x -\vec y). \end{equation}$$ Beachten Sie, dass dies wirklich die Aussage des Spin-Statistik-Theorems ist. In der klassischen Grenze ( $\hbar \to 0$) verschwindet die rechte Seite dieser Gleichung und wir wissen nicht, wie wir sie mit „normalen“ Zahlen verstehen sollen. Aus diesem Grund führen wir Grassmann-Zahlen ein, dh eine antikommutierende Algebra über den reellen Zahlen. Gegeben zwei Elemente $a$, $b$dieser Algebra sind sie so, dass $ab =- ba$

Jetzt wollen wir die beiden obigen Punkte zusammenführen und verwenden daher Spinoren von Antikommutierungszahlen, um fermionische Felder klassisch zu beschreiben. Jetzt zum Beispiel$\xi^i$ist ein Dublett komplexer Antikommutierungszahlen, das heißt$\xi^i \chi^j = - \chi^j \xi^i$für zwei Anti-Pendel-Spinoren$\xi^i$Und$\chi^i$.

Mit anderen Worten, wir verwenden Antikommutierungszahlen, um ein klassisches Analogon des Quanten-Antikommutators zu haben, der vom Spin-Statistik-Theorem gefordert wird.

Außerdem denke ich, dass etwas mit Ihrem inneren Produkt nicht stimmt: Im ersten '='-Zeichen fehlt ein Minus, weil Sie zwei Antikommutierungszahlen ausgetauscht haben, und dieses Produkt ist wirklich symmetrisch:

$$\begin{align} \chi \xi \equiv \chi^i \epsilon_{ij} \xi^j = - \xi^j \epsilon_{ij} \chi^i = - \xi^i \epsilon_{ji} \chi^j = \xi^i \epsilon_{ij} \chi^j \equiv \xi \chi \end{align}$$

Dies ist kein ausreichender Beweis für das Spin-Statistik-Theorem, weil es wenig mit dem zu tun hat, was das Spin-Statistik-Theorem sagt . Zum einen ist dieser Satz eine Aussage über Operatoren, während es bei der im OP diskutierten Eigenschaft nur um klassische Felder geht.

Lassen$a$ein Operator sein, der gemäß einer Darstellung transformiert$r$der Lorentzgruppe$\text{Spin}(1,d-1)$. (Diese Wiederholung muss nicht irreduzibel sein; aber wenn sie reduzierbar ist, muss sie homogen sein in Bezug auf$\pi_1(\text{SO}(1,d-1))=\mathbb Z_2$). Wir sagen$a$ist bosonisch, wenn$r$Aufzüge zu einer Darstellung von$\text{SO}(1,d-1)$, andernfalls fermionisch. Mit anderen Worten,$a$ist bosonisch (bzw. fermionisch), wenn es mit kommutiert (bzw. antikommutiert).$(-1)^F\in\text{Spin}(1,d-1)$, Wo$(-1)^F$bezeichnet das Bild von a$2\pi$Drehung ein

$$\mathbb Z_2\hookrightarrow\text{Spin}(1,d-1)\twoheadrightarrow\text{SO}(1,d-1)$$

Lass auch$[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$bezeichnen einen Kommutator, und$\{\,\cdot\,,\,\cdot\,\}$ein Antikommutator.

Unter Berücksichtigung dieser Definitionen sagt das Spin-Statistik-Theorem Folgendes aus: Let$a_1(x),a_2(x)$zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) bosonische Operatoren sein. Wenn$\{a_1(x),a_2(y)\}=0$für raumähnlich$x-y$, Dann$a_i(x)$muss trivial sein. Ebenso, wenn$a_i(x),a_2(x)$sind fermionische Operatoren, und$[a_1(x),a_2(y)]=0$für raumähnlich$x-y$, Dann$a_i(x)$muss trivial sein.

Beachten Sie, dass wir nicht sagen, dass bosonische Operatoren pendeln müssen und fermionische Operatoren anti-kommutieren müssen. Stattdessen sagen wir, dass die andere Option zu einer trivialen Theorie führt und daher gewissermaßen „verboten“ ist. Natürlich schließt dies andere Möglichkeiten nicht aus, sodass der Satz nicht absolut einschränkend ist. (In jedem Fall siehe diesen PSE-Beitrag für eine ausführlichere Diskussion).

Die Analyse im OP beweist diese Aussage nicht und ist daher kein Beweis für das Spin-Statistik-Theorem. Davon abgesehen ist es eine schöne Motivation dafür, warum ein solches Theorem überhaupt gelten könnte. Es ist also in der Tat keine "große Überraschung", dass das Theorem gilt, aber das Argument ist definitiv kein Beweis, nicht einmal auf der Ebene oder Strenge der Physik. (Und denken Sie daran, dass das obige Spin-Statistik-Theorem für alle gilt$d$; aber die Existenz einer symmetrischen oder antisymmetrischen bilinearen Form für Fermionen ist sehr stark dimensionsabhängig, wobei die Realitätseigenschaften der Irreps von Lorentz die wohlbekannte mod 8 (Bott) Periodizität haben; ein kürzlich erschienener Artikel von Witten und Yonekura 1909.08775 leistet hervorragende Arbeit bei der Beschreibung der Details).