Zusammenhang zwischen su(2)su(2)\mathfrak{su}(2)-Zerlegung und Lorentz-Lie-Algebra

Zunächst ein kleines Detail, der von Ihnen erwähnte Isomorphismus der Lie-Algebren erfordert eine Komplexifizierung. Die Lorentz-Algebra$\mathfrak{so}(1,3)$standardmäßig ist eine reelle Lie-Algebra. Beachten Sie, dass Sie beim Beweis des oben genannten Isomorphismus Linearkombinationen der Generatoren nehmen müssen, die mit multiplizieren$i$. Dazu müssen Sie komplexieren, so wäre die richtige Aussage$\mathfrak{so}_\mathbb{C}(1,3)\simeq \mathfrak{su}_\mathbb{C}(2)\oplus \mathfrak{su}_\mathbb{C}(2)$. Weitere Einzelheiten hierzu finden Sie in „Quantum Field Theory for Mathematicians“ von Robin Ticciati, das eine nette Diskussion enthält.

Ein schwerwiegenderer Fehler ist nun, dass Sie das, wie in den Kommentaren erklärt, sagen$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$Ist$\frac{1}{2}\oplus \frac{1}{2}$. Das stimmt überhaupt nicht. Die wahre Konstruktion ist diese: sobald Sie die Lorentz-Algebra komplexisieren$\mathfrak{so}_\mathbb{C}(1,3)$Sie können die Elemente konstruieren

$$\mathscr{A}_i=\dfrac{1}{2}(\mathscr{J}_i+i\mathscr{K}_i),\quad \mathscr{B}_i=\dfrac{1}{2}(\mathscr{J}_i-i\mathscr{K}_i),\tag{1}$$

Wo$\mathscr{J}_i$sind die Drehimpulsoperatoren und$\mathscr{K}_i$die Boost-Generatoren. Sie können leicht überprüfen, dass die Lorentz-Algebra impliziert$\mathscr{A}_i$Und$\mathscr{B}_j$kommutieren miteinander und gehorchen unabhängig voneinander der Drehimpulsalgebra. Um diese zu konstruieren, wählen Sie dann zwei Darstellungen der Drehimpulsalgebra aus, sagen wir die Irreps mit Spins$A$Und$B$. Der erste wirkt weiter$\mathbb{C}^{2A+1}$und hat Generatoren$J_i^{(A)}$und die zweite an$\mathbb{C}^{2B+1}$und hat Generatoren$J_i^{(B)}$. Dann konstruieren Sie den Raum$\mathbb{C}^{2A+1}\otimes \mathbb{C}^{2B+1}$und Sie binden diese Generatoren als ein

$$\mathscr{A}_i = J_i^{(A)}\otimes 1_B,\quad \mathscr{B}_i = 1_A\otimes J_i^{(B)}.\tag{2}$$

Es ist wieder sehr einfach, das zu zeigen$\mathscr{A}_i$pendelt mit der$\mathscr{B}_j$und dass sie einzeln derselben Algebra genügen$J_i^{(A)}$Und$J_i^{(B)}$erfüllt. Sie verwenden dann (1) in umgekehrter Richtung, um die Wirkung der Lorentz-Generatoren zu erhalten. Da hat man einen Repräsentationsraum$\mathbb{C}^{2A+1}\otimes \mathbb{C}^{2B+1}$und dort definierten Operatoren, die der Lorentz-Algebra gehorchen, haben Sie eine Darstellung der Lorentz-Algebra. Wie Sie sehen können, ist dies nichts anderes als eine direkte Summe zweier Darstellungen von$\mathfrak{su}_\mathbb{C}(2)$welches ist was$\frac{1}{2}\oplus \frac{1}{2}$bedeutet.

Nun zu Ihrer Frage, was die Leute wirklich meinen, wenn sie das sagen$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$zerfällt als$0\oplus 1$ist, dass die Rotationsuntergruppe der Lorentz-Gruppe reduzierbar dargestellt wird und ihre Darstellung zerfällt als$0\oplus 1$.

Mathematisch genommen${\rm SO}(1,3)$. Da Rotationen Lorentz-Transformationen sind, haben wir${\rm SO}(3)\subset {\rm SO}(1,3)$. Genauer gesagt gibt es eine Untergruppe von${\rm SO}(1,3)$isomorph zu${\rm SO}(3)$. Wenn jetzt$V$ist ein Repräsentationsraum von${\rm SO}(1,3)$Und$\rho: {\rm SO}(1,3)\to {\rm GL}(V)$ist eine Darstellung, wenn Sie bedenken$\rho(R)$ nur für$R\in {\rm SO}(3)$dann hat man durch Beschränkung auf eine Untergruppe eine Darstellung der Rotationsgruppe$\rho|_{\rm SO}(3):{\rm SO}(3)\to {\rm GL}(V)$. Diese Repräsentation kann entweder reduzierbar oder irreduzibel sein, und insbesondere können Sie sie in die Ihnen bereits bekannten Irreps zerlegen.

Das ist, was los ist. Im$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$Darstellung der Lorentz-Gruppe, der assoziierten${\rm SO}(3)$Vertretung ist$0\oplus 1$.

Dies ist wichtig, weil es an die Spins der Teilchen gebunden ist, die das Feld darstellen kann. Für eine eingehende Diskussion siehe Kapitel 5 von Weinbergs „The Quantum Theory of Fields, Volume 1“.