Wie erhält man Gell-Mann-Matrizen?

Es kann durch einfache Eigenschaften von erhalten werden$SU(N)$Gruppenmatrixdarstellung.

Erstens, indem Sie die Matrix darstellen$\hat {U}$der gruppennahen Identitätsmatrix,$\hat {U} = \hat {E} + \hat {A}$, können Sie (bei Beibehaltung der Linearität durch$\hat {A}$) erhalten Eigenschaften von$\hat {A}$:

$$\hat {U}\hat {U}^{+} = \hat {E} \Rightarrow \hat {A}^{+} = -\hat {A}, \quad det \hat {U} = 1 \Rightarrow Tr(\hat {A}) = 0.$$ Die erste Bedingung führt zum Fehlen des Realteils von Diagonalkomponenten$\hat {A}$und zur Darstellung nichtdiagonaler Komponenten in Form von$A_{ij} = a_{ij} + ib_{ij}, A_{ji} = -a_{ij} + ib_{ij}$. Die zweite führt zum Zustand von$\sum_{i} A_{ii} = 0$, aber ansonsten ist die Parametrisierung der Diagonalkomponenten willkürlich.

So für$SU(3)$Darstellung ist nicht schwer zu sehen, dass entsprechende Matrizen sind

$$\hat {A} = i\begin{pmatrix} a_{3} + a_{8} & a_{1} - ia_{2} & a_{4} - ia_{5} \\ a_{1} + ia_{2} & a_{8} - a_{3} & a_{6} - ia_{7} \\ a_{4} + ia_{5} & a_{6} + ia_{7} & -2a_{8} \end{pmatrix}.$$ Es bleibt nur noch, die Matrix in Summe von zu erweitern$\sum_{i}a_{i}\hat {R}_{i}$, Wo$\hat {R}_{i}$sind Gell-Mann-Matrizen.