Verwenden Sie die Cartan-Subalgebra in der Spinordarstellung, um Gewichte der Vektordarstellung zu finden

Für$SO(2n)$Wir können die Lie-Algebra-Elemente konstruieren, indem wir antisymmetrische Kombinationen von verwenden$\gamma_\mu$die der Clifford-Algebra gehorchen.

Die Elemente werden bis zu einem gewissen Grad vorfaktorisiert$S_{\mu \nu} = \alpha [\gamma_\mu , \gamma_\nu]$können als Generatoren verwendet werden. Dann können wir die Cartan-Unteralgebra mit den Elementen identifizieren$H_i = S_{(2i-1)(2i)}$.

Jetzt möchte ich dies verwenden, um die Gewichte für ein Element zu finden ($A_\mu)$in der Vektordarstellung von$SO(2n)$. Dazu habe ich die verwendet$\gamma_\mu$Basis und versucht, die Gewichte für zu finden$A_\mu \gamma^\mu$.

Das Problem ist, dass bestimmte Elemente der Cartan-Algebra einfach mit Teilen der Algebra vertauschen$A_\mu \gamma^\mu$Summe. Zum Beispiel:

$H_2 (A_1 \gamma^1) = (2 \alpha \gamma_3 \gamma_4) \cdot (A_1 \gamma^1) = (2 \alpha ) \cdot (A_1 \gamma^1) \gamma_3 \gamma_4$

Seit der Umstellung des 2$\gamma$ergibt einen Faktor von$(-1)^2$. Das Erhöhen und Verringern von Indizes hat keine Konsequenzen, da die Metrik für die Clifford-Algebra euklidisch ist ($\delta ^{\mu \nu}$).

Aber diese Teile sollten eher auf Null gehen, um eine lineare Wirkung zu erzielen$H$auf der Vektordarstellung.

Was ist falsch an obigem Ansatz? oder sollte es funktionieren? Gibt es eine Möglichkeit zu rechtfertigen, dass die Kommutierung einem Nullelement entspricht (oder Nullgewicht, wenn es mit dem Ganzen pendelt$A_\mu \gamma^\mu$)?