Spin(n)Spin(n)Spin(n)-Gruppe und SO(n)SO(n)SO(n)-Beziehung

Nein, Elemente von$Spin(n)$befolgen Sie nicht die Clifford-Algebra. Stattdessen sind es die Gammamatrizen, die ihm gehorchen. Und nein, der Kommutator der$Spin(n)$Lie-Algebra sind nicht die Kommutatoren der Elemente der Gruppe, sondern Elemente der Lie-Algebra.

Jetzt positiv.

Die Spinor-Darstellung ist die Darstellung, auf der die Generatoren$J_{ij}$(die Grundlage der Lie-Algebra) handeln,$s\mapsto J_{ij}\cdot s$. Die Elemente der$Spin(n)$Gruppe kann durch Potenzierung erhalten werden:

$$g = \exp(\sum_{i,j} i\omega_{ij}J_{ij})$$ Wo $J_{ij}$ist die Grundlage der Lie-Algebra. In der Vektordarstellung $J_{ij}$ist durch ein nahezu verschwindendes gegeben $n\times n$Matrix mit Einträgen $\pm i$auf der $i,j$Und $j,i$Position bzw. die Matrizen $J_{ij}$eine völlig andere Form in der Spinor-Darstellung haben $Spin(n)$. Sie können geschrieben werden als $$J_{ij} = \frac{\gamma_i \gamma_j - \gamma_j \gamma_i}{4}$$ Wo $\gamma_i$sind Gammamatrizen, die der Clifford-Algebra gehorchen $$\gamma_i \gamma_j + \gamma_j \gamma_i = 2\delta_{ij}\cdot {\bf 1}$$ Die Matrizen, die dieser Algebra gehorchen, können also zu bilinearen Ausdrücken, dem antisymmetrischen Tensor, kombiniert werden $J_{ij}$mit zwei Indizes, und diese $J_{ij}$gehorchen dem $Spin(n)$Lie-Algebra, und wie bei jeder Lie-Algebra können die Elemente der Lie-Gruppen durch Potenzieren von Kombinationen der Lie-Algebra-Matrizen erhalten werden. (Äquivalent dazu ist die Lie-Algebra der Tangentialraum der Mannigfaltigkeit der Lie-Gruppe in der Nähe des Einheitselements der Gruppe.)