10-dimensionale und 15-dimensionale Matrixdarstellungen von SU(5)SU(5)SU(5): Explizite 24-Lie-Algebra-Generatoren

1. Lassen Sie uns der Einfachheit halber skizzieren, wie die Konstruktion für die Lie-Gruppe abläuft$U(5)$und überlasse es dem Leser, es zu ändern$SU(5)$.

2. OP ist an der Realisierung der Gruppendarstellungen interessiert

   $${\bf 10}~:=~{\bf 5}\wedge{\bf 5}~=~\begin{array}{r} [~~]\cr [~~] \end{array} \qquad\text{and}\qquad {\bf 15}~:=~{\bf 5}\odot {\bf 5}~=~[~~]~[~~],\tag{1}$$ Wo${\bf 5}=[~~]$bezeichnet die definierende/grundlegende Darstellung von$U(5)$. (NB: In dieser Antwort identifizieren wir oft eine Darstellung mit ihrem Vektorraum .)

3. Zusammen bilden sie eine 25-dimensionale reduzierbare Tensordarstellung

   $${\bf 25}~:=~{\bf 5}\otimes{\bf 5}~=~{\bf 5}\wedge{\bf 5}~\oplus~{\bf 5}\odot{\bf 5}. \tag{2}$$ Hier$\otimes$bezeichnet das standardmäßige (unsymmetrisierte) Tensorprodukt .

4. Explizit die Tensordarstellung

   $$R:~ U(5)~\to~ {\rm End}({\bf 5}\otimes{\bf 5}),\tag{3}$$ ist gegeben als $$R(g)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_igv^i_L\otimes gv^i_R ,\tag{4}$$ Wo $$g\in~ U(5), \qquad v^i_L,v^i_R~\in~{\bf 5}.\tag{5}$$

5. Die entsprechende Lie-Algebra-Darstellung

   $$r:~ u(5)~\to~ {\rm End}({\bf 5}\otimes{\bf 5}),\tag{6}$$ ist gegeben als $$r(x)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_ixv^i_L\otimes v^i_R + \sum_iv^i_L\otimes xv^i_R,\tag{7}$$ Wo $$x\in~ u(5), \qquad v^i_L,v^i_R~\in~{\bf 5}.\tag{8}$$ Durch die Wahl einer Grundlage für${\bf 5}$, ist es dann prinzipiell möglich, a zu berechnen$25\times 25$Matrixdarstellung der Basiselemente für die Lie-Algebra$u(5)$.

6. Die Tensordarstellungen (3) und (6) respektieren die Aufspaltung (2) in die gesuchten Darstellungen von OP (1). Dies ist im Prinzip die Antwort auf die Frage von OP.

7. Andererseits betrachtet OP die 25-dimensionale Lie-Algebra

   $$u(5)=u(5)_A\oplus u(5)_S \tag{9}$$ von Antihermitian$5\times 5$Matrizen, die sich in einen 10-dimensionalen Unterraum aufteilen$u(5)_A$von echten antisymmetrischen Matrizen und einem 15-dimensionalen Unterraum$u(5)_S$von imaginären symmetrischen Matrizen.

8. Die adjungierte Darstellung

   $${\rm Ad}: ~U(5)~\to~ {\rm End}(u(5)),\tag{10}$$ wird von gegeben $$\begin{align} {\rm Ad}(g)x~:=~&gxg^{-1}, \cr g~\in~&U(5), \qquad x~\in~u(5),\end{align}\tag{11}$$ wirkt auf die Lie-Algebra$u(5)$, berücksichtigt aber nicht die Aufspaltung (9).

Leider kenne ich trotz meines Beinahe-Versprechens in der von Ihnen zitierten Frage keine Quelle, die diese sperrigen Sätze von 24 10 × 10- und 15 × 15 -Matrizen mit außerordentlich geringer Dichte berechnet. Das Beste, was ich tun kann, ist, Ihnen die kompakte Antwort von @Qmechanic (2) zu veranschaulichen und sicherzustellen, dass Sie sie so visualisieren, wie ich es tue (und das sollte wohl jeder tun).

Ich werde deine verwenden$\lambda_1$als Beispiel für den 5 × 15-Generator in Ihrer Nicht-Standard-Normalisierung,$A_1$für das entsprechende 10 × 10 eins und$S_1$für die 15×15. Aber leider! Ich werde nicht einmal dazu kommen, diese zu berechnen, sondern nur das reduzierbare 25 × 25-Koprodukt,$A_1\oplus S_1$,

Meine Konvention für Tensorprodukte ist "von rechts nach links", dh die rechten Tensorfaktorvektoren / -matrizen multiplizieren die numerischen Einträge des linken Vektors / der Matrix.

Das obige Nebenprodukt ist dann eine einfache Blockmatrix , wo ich die 5×5-Blöcke kompakt, symbolisch schreibe,

Wie in beiden Antworten auf die dargestellt${\mathfrak su} (2)$Beispiel Ihrer Wahl , eine orthogonale Ähnlichkeits-Clebsch-Transformation bewirkt einen Basiswechsel von dieser ungekoppelten auf die gekoppelte Basis,

Wie wirkt diese Koproduktmatrix auf einen einfachen (zu einfachen!) Probenvektor? Schreiben wir die Spaltenvektoren als Transponierte von Zeilenvektoren, um Platz zu sparen:

Nun beobachte$v\otimes w + w\otimes v$transformiert genauso wie oben unter$\Delta(\lambda_1)$, und ist in der 15 ; während die$v\otimes w - w\otimes v$in der 10 ist im Kernel von$\Delta(\lambda_1)$; das macht das Beispiel zu einfach. In der gekoppelten Basis wäre es im Kernel von$A_1$.

$A_1$ist für su (5) natürlich nicht trivial . Hätten wir den unordentlicheren genommen$u\equiv [0,0,1,0,0]^T$Anstelle von w hätten wir nichttriviale Aktionen dokumentiert.

Diese Visualisierungs-Fingerübungen können für Ihr Projekt von Nutzen sein oder auch nicht.