Trialität und Anklage

Bekanntlich das Wurzelgitter$Q$einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist ein Untergitter ihres Gewichtsgitters$P$weil die Wurzeln die Gewichte der adjungierten Darstellung sind. Die Kongruenzklasse eines Gewichts (das ist die Verallgemeinerung der Trialität in$SU(3)$) ist ihr Vertreter in der Nebenklasse$P/Q$. ( Slansky nennt es "Kongruenzklasse"). In dieser Konstruktion sind die Regeln der Trialitätserhaltung offensichtlich. Das Zentrum der Gruppe ist die Zeichengruppe$\mathcal{X}(P/Q)$, dh die Gruppe der eindimensionalen Darstellungen. Somit kann die Trialität als diskrete Ladung des Zentrums der Eichgruppe angesehen werden.

1) Slansky gibt einige Beispiele für Formeln der Kongruenzklasse von$SU(N)$,$E_6$usw. als lineare Kombination der Gewichtskomponenten oben auf Seite 37 seiner Rezension. Die folgende Arbeit von: Lenka Ha'kova' enthält die Formeln für die vollständige Cartan-Klassifikation auf Seite$42$.

2) Der Zusammenhang der Trialität und der elektrischen Ladung ergibt sich aus der empirischen „Trialitätsregel“, die darauf beruht, dass alle bekannten Baryonen zu (den Flavour-)Darstellungen gehören, die Young-Tableaus entsprechen, deren Kästchenzahl ein Vielfaches von 3 ist, also müssen zu einem Vielfachen von 3 Tensorprodukten der Quarkdarstellung gehören, also von Trialität Null sein müssen. Die elektrischen Ladungen dieser Baryonen sind ganzzahlige Vielfache der Ladung des Elektrons$e$, also müssen die Ladungen der konstituierenden Quarks Vielfache von sein$\frac{1}{3} e$.

Magnetische Monopole erklären die Trialitätsregel und die Fraktionierung der Quarkladungen. Siehe zum Beispiel die Erklärung von Preskill : (basierend auf der Arbeit von Goddard Nuyts und Olive) Die Erklärung basiert auf:

1) Der magnetische Ladungsgenerator$M$ist eine Linearkombination der Generatoren der gebrochenen Messgerätegruppe (z$SU(5)$).

2) Der Magnetladungsgenerator muss eine verallgemeinerte Dirac-Quantisierungsbedingung erfüllen$e^{2 i \pi M} = I$

3) Das Zentrum der unterbrochenen Eichgruppe bleibt ununterbrochen, weil es eine Untergruppe der ununterbrochenen U(1)-Untergruppe ist.

Diese drei Bedingungen erzwingen eine Normalisierung der Generatoren, so dass ein Trialitäts-Null-Zustand für ganzzahlige Ladungen Null sein muss, was genau das ist, was experimentell beobachtet wird.

Es ist erwähnenswert, dass die Menge aller möglichen magnetischen Ladungen das magnetische Dual der Eichgruppe erzeugt, das die Grundlage der berühmten elektrisch-magnetischen Dualität bildet.

Die Antwort auf die dritte Frage lautet: Wenn eine solche Symmetriebrechung existierte, dann die Trialitäts-1-Darstellung$\underline{\overline{6}}$hätte die elektrische Ladung 0 und verstößt damit gegen die empirische Trialitätsregel.