Supercharge-Transformationsregeln

Question

Supercharge-Transformationsregeln

Physik
Gruppentheorie
Supersymmetrie
Quantenfeldtheorie
Repräsentationstheorie
Topologische-Feld-Theorie

Benutzer45765

In Betracht ziehen ${\cal N}=2$ Supersymmetrie mit $SU(2)$ globale Symmetriegruppe. Dann werden beide aufgeladen $Q_{ai},\bar{Q}_{\dot{a}\dot{j}}$ transformieren durch 2 dimensionale Darstellung von $SU(2)$ . Bezeichnen $SU(2)_I$ wie die vorgenannte Gruppe.

Betrachten Sie nun flach $R^4$ mit Drehung $Spin(4)\cong SU(2)_L\times SU(2)_R$ . Dann verwandeln sich Superladungen wie $(2,1,2)\oplus (1,2,2)$ bzw. Ich denke, wir meinen in diesem Teil den Sinn der euklidischen Feldtheorie.

In Betracht ziehen $SU(2)_L\times SU(2)_D\cong Spin(4)\subset SU(2)_L\times SU(2)_R\times SU(2)_I$ Wo $SU(2)_D$ bezeichnet den diagonalen Teil von $SU(2)_R\times SU(2)_I$ .

Jetzt sagt das Buch, dass sich Supercharges transformieren als $(2,2)\oplus (1,3)\oplus(1,1)$ unter $SU(2)_L\times SU(2)_D$ .

Ich werde die trivialen Darstellungen außer Acht lassen. $(2,2)$ entsprechen sollte $Q_{ai}$ 's Teil. Es scheint, dass $(1,3)\oplus (1,1)$ ist eine Mischung aus $\bar{Q}_{\dot{a}\dot{j}}$ als $1/2\otimes 1/2=1\oplus 0$ Wo $1/2,1,0$ Gesamtspin bezeichnen.

$\textbf{Q:}$ Ist oben richtig? Es scheint, dass ich keinen systematischen Weg habe, um mit dieser Spaltung umzugehen. Was wäre ein systematischer Weg, damit umzugehen?

Benutzer45765

@Qmechanic Tut mir leid. Es sollte arxiv.org/abs/hep-th/9408074 sein . Es ist S. 8 obere und untere Absätze.

QMechaniker

Seite 8 im PDF-Reader; Seite 7 im Text.

Antworten (1)

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@Qmechanic Tut mir leid. Es sollte arxiv.org/abs/hep-th/9408074 sein . Es ist S. 8 obere und untere Absätze.

QMechaniker · Answer 1

Ja, OP hat recht. Ref. 1 betrachtet topologisches Verdrehen. Lassen $G:=SU(2)$ Notation zu vereinfachen. Lassen $K:=G_L\times G_R$ sei die (doppelte Abdeckung der) Gruppe der euklidischen Raumzeitrotationen. Lassen $G_D\to H:=G_R\times G_I$ sei die diagonale Einbettung $g\mapsto (g,g)$ . Eine irreduzible Darstellung von $H$ entspricht einem (möglicherweise reduzierbaren) Tensorprodukt von Darstellungen von $G_D$ . Dann:

Der Aufschlag $Q_{\alpha i}$ verwandelt sich in die ${\bf 2}_L\otimes{\bf 1}_R\otimes{\bf 2}_I$ von $G_L\times G_R\times G_I$ , und damit in der ${\bf 1}_R\otimes{\bf 2}_I$ von $H$ , was dem entspricht ${\bf 1}_D\otimes{\bf 2}_D\cong {\bf 2}_D$ von $G_D$ .
Der Aufschlag $\bar{Q}_{\dot{\alpha} i}$ verwandelt sich in die ${\bf 1}_L\otimes{\bf 2}_R\otimes{\bf 2}_I$ von $G_L\times G_R\times G_I$ , und damit in der ${\bf 2}_R\otimes{\bf 2}_I$ von $H$ , was dem entspricht ${\bf 2}_D\otimes{\bf 2}_D\cong {\bf 3}_D\oplus {\bf 1}_D$ von $G_D$ .

Verweise:

C. Vafa & E. Witten, arXiv:hep-th/9408074 ; P. 7.

Gab es eine systematische Behandlung des beschriebenen Verfahrens (Zerlegung der Darstellungen)? Sagen wir ein Lehrbuch oder ein Nachschlagewerk? Danke.

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