Symmetriebruch zu einer speziellen Subalgebra?

Question

Symmetriebruch zu einer speziellen Subalgebra?

Physik
Gruppentheorie
Symmetriebruch
Quantenfeldtheorie
Repräsentationstheorie
Beyond-the-Standard-Modell

jak

Dies ist eine Fortsetzung meiner Frage hier .

Für reguläre Subalgebren der Lie-Algebra einer Gruppe ist das Wurzelsystem der Subalgebra eine Teilmenge des Wurzelsystems der Gruppenalgebra des Originals. Mit anderen Worten, die Generatoren der Subalgebra sind eine Teilmenge der Generatoren der ursprünglichen Gruppe.
Subalgebren, deren Wurzelsystem keine Teilmenge des Wurzelsystems der ursprünglichen Algebra ist, werden spezielle Subalgebren genannt . Daher sind die Generatoren keine Teilmenge der Gruppengeneratoren des Originals.

Mit dem Higgs-Mechanismus, wie schön von @Heterotic in der oben verlinkten Frage erklärt, prüfen wir einfach, welche Generatoren ununterbrochen bleiben, nachdem ein oder mehrere Higgs-Felder ein vev erhalten. Dann:

"Die verbleibende Untergruppe nach dem Symmetriebruch ist einfach die Gruppe, die von den ununterbrochenen Generatoren erzeugt wird."

Für reguläre Teilalgebren ist das sicherlich richtig, aber wie funktioniert das für spezielle Teilalgebren? Wie können wir feststellen, dass wir zu einer speziellen Subalgebra gesprungen sind, indem wir einem Higgs-Feld ein vev gegeben haben, wenn die Generatoren der Subalgebra keine Teilmenge der Gruppengeneratoren des Originals sind?

Kosmas Zachos

Es könnte einfacher sein, eine Antwort zu erwägen, wenn Sie ein einfaches, prägnantes, explizites Beispiel für eine spezielle Unteralgebra einer kleinen Lügenalgebra liefern. Ihre Definition davon ist auf den ersten Blick verwirrend.

Antworten (1)

Symmetriebruch zu einer speziellen Subalgebra?

Es könnte einfacher sein, eine Antwort zu erwägen, wenn Sie ein einfaches, prägnantes, explizites Beispiel für eine spezielle Unteralgebra einer kleinen Lügenalgebra liefern. Ihre Definition davon ist auf den ersten Blick verwirrend.

Dirakologie · Answer 1

Subalgebren, deren Wurzelsystem keine Teilmenge des Wurzelsystems der ursprünglichen Algebra ist, werden spezielle Subalgebren genannt. Daher sind die Generatoren keine Teilmenge der Gruppengeneratoren des Originals .

Das ist nicht ganz richtig. Eine spezielle Unteralgebra ist eine solche, deren Schrittoperatoren keine Teilmenge der algebraischen Schrittoperatoren bilden. Das bedeutet, dass ein Wurzelsystem keine Teilmenge eines anderen Wurzelsystems ist. Dies impliziert nicht, dass die Subalgebra-Generatoren keine Teilmenge der Algebra-Generatoren sind.

Beispiel: Betrachten Sie die dreidimensionale Darstellung von $\mathfrak g=\mathfrak{su}(3)$ , deren Generatoren $T_a=\lambda_a/2$ , Wo $\lambda_a$ sind die Gell-Mann-Matrizen . Die Schrittoperatoren sind

\begin{aligned} E_{\pm a_{1}} = T_{1} \pm ich T_{2}, \\ E_{\pm a_{2}} = T_{6} \pm ich T_{7}, \\ E_{\pm (a_{1} + a_{2})} = T_{4} \pm ich T_{5}, \end{aligned}

$\begin{align*} E_{\pm\alpha_1}=T_1\pm iT_2,\\ E_{\pm\alpha_2}=T_6\pm iT_7,\\ E_{\pm(\alpha_1+\alpha_2)}=T_4\pm iT_5, \end{align*}$ Reguläre Einbettung: Die Generatoren

T_{1}

$T_1$ ,

T_{2}

$T_2$ Und

T_{3}

$T_3$ eine Subalgebra bilden

s u (2)

$\mathfrak{su}(2)$ . Diese Subalgebra-Schrittoperatoren sind

t_{\pm} = T_{1} \pm i T_{2} = E_{\pm α_{1}}

$t_\pm=T_1\pm iT_2=E_{\pm\alpha_1}$ . Die Subalgebra-Schrittoperatoren bilden eine Teilmenge der Algebra-Schrittoperatoren.

Spezielle Einbettung: Andere $\mathfrak{su}(2)$ Subalgebra ist gegeben durch $T_2$ , $T_5$ Und $T_7$ . In diesem Fall sind die Schrittoperatoren $t_\pm=T_5\pm iT_7$ was nicht in Form der Schrittoperatoren von geschrieben werden kann $\mathfrak{su}(3)$ .

Beachten Sie die Verzweigungsregeln für die erste Einbettung $3=2\oplus 1$ während für die zweite ist $3=3$ .

Symmetriebruch zu einer speziellen Subalgebra?

jak

Kosmas Zachos

Antworten (1)

Dirakologie

Wie findet man die verbleibende Untergruppe, nachdem eine lineare Kombination von Higgs-Feldern ein VEV erhält?

Spontane Symmetriebrechung von SU(2)SU(2)SU(2) in reellen und komplexen Skalarfeldern

Symmetriebrechung von SO(10)SO(10)SO(10) oder Spin(10)Spin(10)Spin(10)

Supercharge-Transformationsregeln

Gruppentheoretischer Weg, Ladungen nach SSB zu finden

Kann ein symmetriebrechender VEV weit über der „Symmetriebruchskala“ liegen?

Wie viele zusammenhängende Komponenten gibt es im Vakuumverteiler der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie?

Was ist ein Lepto-Diquark?

Wird die Gruppentheorie überhaupt beim Studium der Supersymmetrie verwendet?

2D anomaliefreie Bedingung für eine Eichtheorie