Gruppentheoretischer Weg, Ladungen nach SSB zu finden

Question

Gruppentheoretischer Weg, Ladungen nach SSB zu finden

Bulkilol

Ich habe mich gefragt, wie der gruppentheoretische Weg ist, um die resultierenden Ladungen von Materiefeldern zu finden, nachdem einem Skalarfeld ein vev gegeben wurde.

Bei der EW-Symmetriebrechung kann man die Ladungen direkt aus der Lagrange-Funktion ablesen, indem man das Higgs-Feld setzt $H=v+h'$ und gehen in die Einheitsspur.

Gegeben eine Gauge-Gruppe $\mathcal{G}$ , eine Reihe von Feldern mit ihren Ladungen unter dieser Gruppe. Wie kann ich die Gebühren finden, wenn ich ein Vev dazu gebe? $n$ Felder unter der Restgruppe $\mathcal{G}_\text{br.}$ . Dies ist a priori völlig unabhängig von irgendeiner Lagrange-Funktion und sollte eine rein gruppentheoretische Antwort haben.

Ein einfaches Beispiel wäre $\mathcal{G}=U(1)^k$ mit $m$ Felder. Wenn ich ein vev dazu gebe $n$ von ihnen werden wir haben $U(1)^k\to U(1)^{k-n}$ (vorausgesetzt die $n$ Felder haben linear unabhängige Ladungen). Mein Problem ist, dass ich nicht finde, wie ich die Gebühren erhalte.

Ich würde mich auch für den nicht-abelschen Fall interessieren und nicht nur Skalarfelder, sondern auch andere Spins im Spektrum. Auch Referenzen sind sehr willkommen!

ACuriousMind

Wie nennt man die Gebühr für nicht-abelsche Gruppen? Der Wert des quadratischen Casimir?

frei

@ACuriousMind, so etwas wie Eigenwerte von Cartan-Operatoren? zB schwacher Isospin?

Bulkilol

In diesem Fall meinte ich mit "Ladung" die Repräsentation für nicht-abelsche Gruppen, zB für SU(2) und EW Breaking, das Higgs ist eine 2 von SU(2) (fundamental), das Neutrino ist eine 1 (Singlett) von SU(2) usw...

ZweiBs

Die Ladungszuordnung ändert sich nicht, oder? Die Quarkladungen bleiben vor und nach EWSB gleich. Ich meine, die Ladung ist ein wohldefinierter Operator

Q = T^{3} + Y

$Q=T^3+Y$ Wenn Sie also die Repräsentation kennen, wissen Sie, wie sie funktioniert. Alles, was Sie im Allgemeinen wissen müssen, ist, welche Ladung ungebrochen bleibt, und das wird alles durch die Repräsentationen bestimmt, die vevs einnehmen.

Trimok

Wie oben gesagt, ändern sich Darstellungen von Materieteilchen nach Symmetriebrechung nicht. Zum Beispiel linkshändige Partikel

(d_{L}, u_{L})

$(d_L,u_L)$ sind immer ein Dublett darunter

S U (2)_{W}

$SU(2)_W$ , während rechtshändige Teilchen (

u_{R}

$u_R$ ) Und (

d_{R}

$d_R$ ) sind immer Singuletts von

S U (2)_{W}

$SU(2)_W$ .

Bulkilol

@Trimok Nun, wenn Sie einen extremeren Bruch wie in SU (5) GUT in Betracht ziehen. Sie haben eine 10- und 5-Darstellung von SU(5), die nach dem Brechen zu einer SU(5)xSU(2)xU(1) führen. Im Falle der

U (1)^{n} \to U (1)^{n - k}

$U(1)^n\to U(1)^{n-k}$ In diesem Fall könnte ich im Prinzip wählen, nicht eines der U(1) zu brechen, sondern eine lineare Kombination von allen. In diesem Fall habe ich immer noch Probleme zu sehen, wie ich die verbleibenden Ladungen theoretisch gruppieren kann.

Trimok

Es ist fair zu sagen, dass das Brechen der EW-Symmetrie sehr speziell ist. EW ist keine echte Vereinigung, Sie haben 2 unabhängige Kopplungskonstanten. Und man postuliert, dass zum Beispiel linkshändige Teilchen a sind

S U (2)

$SU(2)$ Dublett und rechtshändige Teilchen a

S U (2)

$SU(2)$ Unterhemd. In einem GUT-Fall ist dies also anders,

S U (5)

$SU(5)$ oder

S O (10)

$SO(10)$ einer echten Vereinheitlichung entsprechen (was eine Vereinheitlichung zum Koppeln von Konstanten auf einer bestimmten Energieskala bedeutet), für die man versucht, Darstellungen zu finden

S U (5)

$SU(5)$ oder

S O (10)

$SO(10)$ , deren entsprechende Darstellungen von

S U (3) \times S U (2) \times U (1)

$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ kann zumindest bekannte Teilchen ergeben.

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Gruppentheoretischer Weg, Ladungen nach SSB zu finden

Wie nennt man die Gebühr für nicht-abelsche Gruppen? Der Wert des quadratischen Casimir?
@ACuriousMind, so etwas wie Eigenwerte von Cartan-Operatoren? zB schwacher Isospin?
In diesem Fall meinte ich mit "Ladung" die Repräsentation für nicht-abelsche Gruppen, zB für SU(2) und EW Breaking, das Higgs ist eine 2 von SU(2) (fundamental), das Neutrino ist eine 1 (Singlett) von SU(2) usw...
Die Ladungszuordnung ändert sich nicht, oder? Die Quarkladungen bleiben vor und nach EWSB gleich. Ich meine, die Ladung ist ein wohldefinierter Operator $Q=T^3+Y$ Wenn Sie also die Repräsentation kennen, wissen Sie, wie sie funktioniert. Alles, was Sie im Allgemeinen wissen müssen, ist, welche Ladung ungebrochen bleibt, und das wird alles durch die Repräsentationen bestimmt, die vevs einnehmen.
Wie oben gesagt, ändern sich Darstellungen von Materieteilchen nach Symmetriebrechung nicht. Zum Beispiel linkshändige Partikel $(d_L,u_L)$ sind immer ein Dublett darunter $SU(2)_W$ , während rechtshändige Teilchen ( $u_R$ ) Und ( $d_R$ ) sind immer Singuletts von $SU(2)_W$ .
@Trimok Nun, wenn Sie einen extremeren Bruch wie in SU (5) GUT in Betracht ziehen. Sie haben eine 10- und 5-Darstellung von SU(5), die nach dem Brechen zu einer SU(5)xSU(2)xU(1) führen. Im Falle der $U(1)^n\to U(1)^{n-k}$ In diesem Fall könnte ich im Prinzip wählen, nicht eines der U(1) zu brechen, sondern eine lineare Kombination von allen. In diesem Fall habe ich immer noch Probleme zu sehen, wie ich die verbleibenden Ladungen theoretisch gruppieren kann.
Es ist fair zu sagen, dass das Brechen der EW-Symmetrie sehr speziell ist. EW ist keine echte Vereinigung, Sie haben 2 unabhängige Kopplungskonstanten. Und man postuliert, dass zum Beispiel linkshändige Teilchen a sind $SU(2)$ Dublett und rechtshändige Teilchen a $SU(2)$ Unterhemd. In einem GUT-Fall ist dies also anders, $SU(5)$ oder $SO(10)$ einer echten Vereinheitlichung entsprechen (was eine Vereinheitlichung zum Koppeln von Konstanten auf einer bestimmten Energieskala bedeutet), für die man versucht, Darstellungen zu finden $SU(5)$ oder $SO(10)$ , deren entsprechende Darstellungen von $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ kann zumindest bekannte Teilchen ergeben.

Bulkilol · Answer 1

Wie @TwoBs und @Trimok im Fall des Bruchs erwähnt haben $U(1)^n\to U(1)^{n-k}$ , die Gebühren ändern sich nicht. Dies gilt jedoch nur in gewisser Weise, da die unterbrochenen Felder Diagonalen sind (nur Ladung unter einem U (1).

Betrachten Sie als Beispiel $U(1)^3$ und die folgenden drei Felder mit ihren Gebühren:

\begin{aligned} Φ_{1} : & (1, 1, 0) \\ Φ_{2} : & (1, - 1, 0) \\ Φ_{3} : & (1, 1, 1) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Phi_1:& (1,1,0)\\ \Phi_2:& (1,-1,0)\\ \Phi_3:& (1,1,1) \end{aligned}$

Wir können die Basis der drei ändern $U(1)$ ist so das

\begin{aligned} Φ_{1}^{'} : & (A_{1}, 0, 0) \\ Φ_{2}^{'} : & (0, A_{2}, 0) \\ Φ_{3}^{'} : & (B_{1}, B_{2}, C_{3}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Phi'_1:& (a_1,0,0)\\ \Phi'_2:& (0,a_2,0)\\ \Phi'_3:& (b_1,b_2,c_3) \end{aligned}$ Dann wenn

⟨ Φ_{1} ⟩ \neq 0 \neq ⟨ Φ_{2} ⟩

$\left<\Phi_1\right>\neq0\neq\left<\Phi_2\right>$ , bleibt uns eine Theorie, bei der wir nur ein Feld haben

Φ_{3}^{'}

$\Phi'_3$ mit Gebühr

U (1)

$U(1)$ :

Q_{U (1)} (Φ_{3}) = C_{3} .

$\begin{equation}Q_{U(1)}(\Phi_3)=c_3.\end{equation}$

Die Verallgemeinerung auf eine höhere Anzahl von $U(1)$ 's und Felder ist offensichtlich.

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