Wie viele zusammenhängende Komponenten gibt es im Vakuumverteiler der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie?

Betrachten Sie die folgende Theorie in 1 + 1 Maße

L = 1 2 ( ∂ ϕ ) 2 − λ 4 ( ϕ 2 − v 2 ) 2 ,

die zeigt a Z 2 = { 0 , 1 } Symmetrie, ϕ → − ϕ , spontan gebrochen durch die klassische Vakua, ϕ = ± v . Naiverweise scheint mir, dass der Vakuumverteiler vier topologisch unterschiedliche Sektoren hat, nämlich die beiden Vakua oben und die Knick- und Antikink-Lösungen.

Da jedoch die Symmetrie gerne bricht Z 2 → { 1 } sagen wir, der Vakuumkrümmer ist gegeben durch Z 2 { 1 } = Z 2 die zwei disjunkte Komponenten hat. Daher darf es nur zwei topologisch unterschiedliche Sektoren geben. Das bedeutet, dass einige der oben genannten Vakua ineinander tunneln können.

Da der Knick bzw. der Knickschutz nicht in die flache Vakua tunneln kann ϕ = ± v , bedeutet das, dass der Knick und der Knickschutz ineinander tunneln können, wie dies bei der flachen Vakua der Fall ist?

Antworten (1)

Da jedoch die Symmetrie gerne bricht Z 2 → { 1 } sagen wir, der Vakuumkrümmer ist gegeben durch Z 2 { 1 } = Z 2 die zwei disjunkte Komponenten hat. Daher darf es nur zwei topologisch unterschiedliche Sektoren geben.

Hier fehlt eine Hypothese. Sagen G die Symmetriegruppe ist; G 0 ist die Isotropiegruppe von X , die Menge aller Grundzustände.

Dann G / G 0 ist isomorph zu X Wenn G wirkt transitiv auf X . In deinem Beispiel G = Z 2 wirkt nicht transitiv auf { Knicke, andere Vakua  } weil es keine gibt G ∈ Z 2 das Knicke mit dem anderen Vakua verbindet. Sie können zwei Mengen identifizieren, die diese Anforderung erfüllen, nämlich { Knicke } Und { andere Vakua } die wie erwartet beide aus 2 ( = # Z 2 / 1 ) Elemente jeweils.

edit: Folgendes hinzugefügt.

Vorschlag : Let G eine Gruppe sein, auf die transitiv wirkt X ; X ∈ X Und G 0 die Isotropiegruppe von X . Dann die Karte

π : G / G 0 → X G G 0 ↦ G X
ist bijektiv.

Beweis : durch die Invarianz von X unter G 0 Wir sehen, dass die Karte wohldefiniert ist, was bedeutet, dass sie nicht vom Repräsentanten abhängt G für die Klasse gewählt G G 0 .

Die Abbildung ist injektiv: Nehmen wir an, dass π ( G ) = π ( H ) . Dies impliziert H − 1 G ∈ G 0 , So H G 0 = G G 0 .

Surjektivität: let X ≠ j ∈ X . Durch Transitivität ∃ G ∈ G so dass G X = j . Dann π ( G ) = j

Warum rufst du an G 0 die "Isotropie"-Gruppe? Meinst du die übrig gebliebene Symmetriegruppe? Könnten Sie mir bitte auch eine Referenz für diese Hypothese nennen? Danke.
@NanashiNoGombe Der Name "Isotropie" -Gruppe ist meines Wissens Standardterminologie. Ja, ich meine die Untergruppe von G, die ein Vakuum invariant lässt. Da ich keine Referenz finden konnte, habe ich den Beweis dem Beitrag hinzugefügt
Wie viele zusammenhängende Komponenten gibt es im Vakuumverteiler der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie?
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