Warum ist die Symmetriegruppe für die elektroschwache Kraft SU(2)×U(1)SU(2)×U(1)SU(2) \times U(1) und nicht U(2)U(2)U(2 )?

Tatsächlich haben wir den folgenden Lie-Algebra-Isomorphismus

$$\tag{1}u(2)~\cong~ u(1)\oplus su(2),$$

und es existiert der folgende Lie-Gruppen-Isomorphismus

$$\tag{2} U(2)~\cong~[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2 ,$$

vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Mit anderen Worten, es liegt eine Zwei-zu-Eins-Karte vor$U(1)\times SU(2)$zu$U(2)$.

Also in diesem Sinne die Glashow-Salam-Weinberg (GSW)$U(1)\times SU(2)$Modell enthält bereits a$U(2)$Messgruppe!

Natürlich wandeln sich die verschiedenen Materie- und Eichfelder auf natürliche Weise in die Sprache der schwachen Hyperladung und des schwachen Isospins um , dh unter$U(1)\times SU(2)$.

Andererseits, wenn wir das elektroschwache GSW-Modell mit der kleineren Spurweite aufbauen$U(2)$[anstelle der vollen$U(1)\times SU(2)$Eichgruppe], dann ein Materiefeld, das sich in eine (Hyperladung, Isospin) irrep$(Y,I)$kann mehrwertig werden, abhängig vom Bruchwert der Hyperladung$Y$. Für den Feldinhalt des Standardmodells passiert dies nicht, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. In diesem Sinne also die elektroschwache Eichgruppe$U(2)$[über den Isomorphismus der Lie-Gruppe (2)].

Die richtige Gruppe der elektroschwachen Messgeräte ist$SU(2)_L \times U(1)_Y$wo$Y$bezeichnet die schwache Überladung. Nachdem das Higgs-Feld spontan diese exakte Symmetrie bricht, bricht der dritte Generator aus$SU(2)_L$(schwacher Isospin) und schwache Hyperladung ergeben zusammen den verbleibenden ungebrochen$U(1)_{em}$.

Eichbosonen und Fermionen fallen unter verschiedene Darstellungen dieser Eichgruppe und wandeln sich nicht trivial unter der Wirkung der Gruppe um. Zum Beispiel$W_{1,2,3}$wandelt sich als Triplett unter$SU(2)_L$. Linkshändige Fermionen wandeln sich um als$SU(2)_L$Dubletten. Dies bedeutet einfach, dass unter Einwirkung einer Symmetrietransformation Komponenten jeder Darstellung in Abhängigkeit von der Darstellung der Eichgruppe in besonderer Weise gemischt werden. Die Quantenzahlen unserer Felder bestimmen also, wie sie sich transformieren und miteinander interagieren. Für den elektroschwachen Sektor des Standardmodells werden die korrekten Eigenschaften mit der Eichgruppe erhalten$SU(2)_L \times U(1)_Y$und nicht mit$U(2)$.

Allerdings beginnt man in großen vereinheitlichten Theorien mit einer größeren Eichgruppe, die die SM-Eichgruppe enthält, und versucht, sie in die SM-Eichgruppe zu zerlegen.