Was versteht man unter einer nicht kompakten U(1)U(1)U(1)-Lie-Gruppe?

Durch die „nicht kompakt$U(1)$Gruppe", wir meinen eine Gruppe, die isomorph zu ist$({\mathbb R},+)$. Mit anderen Worten, die Elemente von$U(1)$sind formell$\exp(i\phi)$sondern die Identifikation$\phi\sim \phi+2\pi k$wird nicht auferlegt. Wenn es nicht auferlegt wird, bedeutet es auch, dass die duale Variable ("Impuls") zu$\phi$, die Ladung, wird nicht quantisiert. Man kann Felder mit beliebigen kontinuierlichen Ladungen zulassen$Q$die um den Faktor transformieren$\exp(iQ\phi)$.

Es ist immer noch legitim, dies eine Version von a zu nennen$U(1)$Gruppe, weil die Lie-Algebra der Gruppe immer noch dieselbe ist,${\mathfrak u}(1)$.

Im zweiten Teil der Frage, wo ich nicht 100% sicher bin, was Sie an dem Zitat nicht verstehen, möchten Sie wahrscheinlich erklären, warum Kompaktheit mit Quantisierung zusammenhängt? Es ist wegen der Ladung$Q$ist, was bestimmt, wie die Phase$\phi$eines komplexen Feldes ändert sich unter Eichtransformationen. Wenn wir sagen, dass die Eichtransformation Felder mit multipliziert$\exp(iQ\phi)$ist gleichbedeutend mit$\phi$und$\phi+2\pi$, es ist gleichbedeutend damit, das zu sagen$Q$ist ganzzahlig, da die Identität$\exp(iQ\phi)=\exp(iQ(\phi+2\pi))$hält iff$Q\in{\mathbb Z}$. Es ist die gleiche Logik wie die Quantisierung des Impulses auf kompakten Räumen oder des Drehimpulses aus Wellenfunktionen, die von den Kugelkoordinaten abhängen.

Er erklärt, dass die Einbettung der$Q$in eine nicht-Abelsche Gruppe impliziert das ziemlich genau$Q$ist eingebettet in eine$SU(2)$Gruppe innerhalb der nicht-Abelschen Gruppe, und dann die$Q$aus dem gleichen mathematischen Grund quantisiert wird$J_z$ist quantisiert. Ich möchte seine Erklärung nur wiederholen, weil sie mir vollkommen vollständig und nachvollziehbar erscheint.

Beachten Sie, dass die Quantisierung von$Q$hält auch wenn die$SU(2)$wird spontan zu a gebrochen$U(1)$. Schließlich sehen wir so etwas in der elektroschwachen Theorie. Die Gruppentheorie funktioniert immer noch für die spontan Gebrochenen$SU(2)$Gruppe.

1. Im Allgemeinen haben wir$^1$

   $$\text{Compact } U(1)~\cong~(e^{i\mathbb{R}}, \cdot)~\cong~S^1,$$ und $$\text{Non-compact } U(1)~\cong~(\mathbb{R},+).$$

2. ZB die Abdeckgruppe des Kompakten$U(1)$ist die nicht kompakte Gruppe$(\mathbb{R},+)$.

3. Im Allgemeinen ist eine Eichtheorie mit Eichgruppe gegeben$G$, können wir es immer als Eichtheorie mit Eichgruppe gleich der Deckgruppe betrachten$\tilde{G}$. (Hinweis: Das Gegenteil ist nicht immer möglich.)

4. ZB für eigenständige QED mit Eichgruppe$U(1)_Q$, dann Pkt. 3 ist eine nicht sehr interessante Beobachtung.

5. Kehren wir nun zu OPs erstem Zitat von Ref zurück. 1. Die elektroschwache Glashow-Weinberg-Salam-Theorie hat eine nicht-halbeinfache Eichgruppe

   $$G~=~SU(2)_I \times U(1)_Y~\supset~ U(1)_I\times U(1)_Y.$$ Beachten Sie, dass die elektromagnetische Untergruppe$H=U(1)_Q$regelmäßig/kompakt/kommensurabel/topologisch (unregelmäßig/nicht-kompakt/inkommensurabel/nicht-topologisch) eingebettet ist$G$wenn die Tangente an den Weinberg-Winkel $\tan\theta_W$ist rational (irrational), vgl. Abb. 1 & 2. Diese Tatsache steht hinter dem ersten Zitat in Lit. 1.

$\uparrow$Abb. 1. (Aus Wikipedia.) Die Cartan-Subalgebra $u(1)_I\oplus u(1)_Y \subset su(2)_I\oplus u(1)_Y$. Die horizontale Achse ist (die dritte Komponente) des schwachen Isospins $I_3=T_3$, und die vertikale Achse ist die schwache Hyperladung $Y$. Die Achse der elektrischen Ladung$Q$ist um den Weinberg-Winkel geneigt$\theta_W$.

$\uparrow$Abb. 2. (Aus Lit. 2.) Der Cartan-Torus $U(1)_I\times U(1)_Y$von$G$ist ein Quadrat mit identifizierten gegenüberliegenden Kanten. Eine elektromagnetische Eichtransformation zeichnet die Linie nach$Aaa'bb'cc'dd'ee'\ldots$. Wenn$\tan\theta_W\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$irrational ist, dann die elektromagnetische Untergruppe$H=U(1)_Q$ist nicht kompakt eingebettet.

Verweise:

1. J. Preskill, Magnetische Monopole, Ann. Rev. Nucl. Teil. Wissenschaft. 34 (1984) 461-530 ; p. 471. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .

2. LH Ryder, Quantum Field Theory, 2. Aufl., 1996; p. 412.

3. AM Polyakov, Gauge Fields and Strings, 1987; Abschnitt 4.3.

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$^1$Einige Autoren (siehe z. B. Lit. 3 und diesen verwandten Phys.SE-Beitrag) verwenden die Terminologie „compact$U(1)$Eichtheorie" , um zu betonen, dass das Eichfeld Werte in einem Kompakten annimmt$U(1)$Liegen Gruppe eher als in einer nicht kompakten$u(1)$Lügen-Algebra. Letzteres ist die Standard-QED-Formulierung, die normalerweise in Lehrbüchern zu finden ist.