Bestimmung der globalen Struktur der SM-Gauge-Gruppe

Wenn eine kompakte Symmetrie nur lokal gelten muss, dh eine Lie-Algebra-Symmetrie sein soll, aber keine entsprechende Lie-Gruppensymmetrie sein muss, bedeutet dies, dass es erlaubt ist, eine nicht integrierbare Darstellung zu verwenden, dh eine Darstellung der Lie-Algebra die sich nicht in eine Darstellung einer entsprechenden Lie-Gruppe integrieren.

Ein Beispiel für eine solche Darstellung ist die Darstellung$J = \mu$mit$2 \mu$nicht ganzzahlige der Lie-Algebra$\mathfrak{su}(2)$. Dies ist eine legitime unendlichdimensionale Darstellung von$\mathfrak{su}(2)$die sich nicht in eine Repräsentation der Gruppe integrieren$SU(2)$, weil jede unitäre irreduzible Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe endlichdimensional ist. Die fehlende Integrierbarkeit spiegelt sich darin wider, dass in dieser Darstellung die den Elementen der Lie-Algebra entsprechenden endlichen Drehungen mehrwertig werden.

Wenn Sie solche Darstellungen nicht zulassen, gehen Sie automatisch davon aus, dass eine Lie-Gruppensymmetrie vorliegt. Wenn Sie beispielsweise Quarks und Eichfelder im Standardmodell endlichdimensionalen Darstellungen einer Lie-Algebra einer kompakten Gruppe zuordnen; dann ist die Theorie unter der entsprechenden Lie-Gruppe notwendigerweise invariant.

Es ist bekannt, dass nicht integrierbare Darstellungen mehrere Schwierigkeiten verursachen. Beispielsweise gehört die Algebra der Drehimpulse eines Teilchens, das sich im Hintergrund eines magnetischen Monopols bewegt, zu dieser Art der Darstellung. Diese Darstellung wird nur dann integrierbar, wenn die Diracsche Quantisierungsbedingung erfüllt ist. Andernfalls treten mehrere Probleme auf: Der Dirac-String, der nur eine Koordinaten-Singularität sein sollte, wird zu einer echten Singularität, einige der Operatoren werden nicht assoziativ und das Pfadintegral wird schlecht definiert. Bitte beachten Sie den folgenden Artikel von Bakas und Lüst und die darin enthaltenen Referenzen.

Ähnliches kann in der Feldtheorie passieren, wenn das Chern-Simons-Niveau nicht ganzzahlig wird.

Dennoch besteht mittlerweile ein großes Interesse an diesen Fällen. Bitte lesen Sie die folgenden zwei Artikel von Witten, der eine Methode erklärt, die auf analytischer Fortsetzung basiert, um die Theorien zu quantifizieren, ohne die Dirac-Bedingung oder die Integralität der Ebene zu erfordern.

Ein wichtiger Beweis kommt aus dem Vergleich zwischen Vorhersagen, die aus Berechnungen von Feynman-Diagrammen gemacht wurden, und experimentellen Ergebnissen. Die gruppentheoretischen Faktoren, die in den Berechnungen des Feynman-Diagramms erscheinen, hängen von den Darstellungen der Lie-Algebren ab. Ein günstiger Vergleich fixiert somit diese Darstellungen.

Beispiele für solche Diagramme sind solche, die man berechnen müsste, um die Beta-Funktion für die laufende Kopplung einer Eichtheorie zu bestimmen. Die One-Loop-Beta-Funktion für eine SU($n$) Eichtheorie (die ich von hier kopiert habe ) ist gegeben durch

$$\beta(g) = - \frac{g^3}{16\pi^2} \left[ \frac{11}{3} C_2(G) - \frac{n_s}{3} T(R_s) - \frac{4 n_f}{3} T(R_f) \right] ,$$ wo $C_2(G)$, $T(R_s)$und $T(R_f)$sind die gruppentheoretischen Faktoren, die der Gruppe SU zugeordnet sind ( $n$).

Für QCD$n=3$. Mit der Beta-Funktion kann man den Verlauf der Kopplungskonstante als Funktion der Energieskala berechnen. Dies wurde experimentell bestätigt. Siehe zum Beispiel Abbildung 9.3 in: http://pdg.lbl.gov/2015/reviews/rpp2015-rev-qcd.pdf

Nun, da wir die Darstellungen der Lie-Algebra haben, wie fixiert sie die Gruppenstruktur? Hier betrachten wir den speziellen Fall des Standardmodells. Die relevanten Teile sind die Gruppen SU(2) und SU(3). Der Fermionengehalt, der mit dem experimentellen Ergebnis übereinstimmt, legt die Darstellungen ihrer Lie-Algebren fest.

Für SU(2) kann man dieselbe Lie-Algebra mit SO(3) haben, aber letztere hat keine zweidimensionale Darstellung. Daher wissen wir, dass die einzige kompakte Lie-Gruppe mit einer zweidimensionalen Darstellung der Pauli-Matrizen als Lie-Algebra SU(2) ist.

Für SU(3) sind die Darstellungen in ähnlicher Weise durch den materiellen Inhalt der Theorie festgelegt, die eine Übereinstimmung zwischen Berechnungen und Beobachtungen ergibt. Die Fermionen befinden sich in der dreidimensionalen Grunddarstellung. Dies legt die Struktur der kompakten Lie-Gruppe auf SU(3) fest.