Anomalie des U(1)U(1)\text{U}(1)-SU(2)SU(2)\text{SU}(2)-SU(3)SU(3)\text{SU} (3) Dreiecksdiagramm

Sie stellen nur eine Frage zur Verwendung: Die Antwort auf das Problem ist trivial, sobald Sie die verwendete Sprache verstanden haben.

Betrachten Sie für eine Generation von linkshändigen Quarks die 6-d-Darstellung. Ihr 6-Vektor hätte also das Up-Quark in seinen oberen 3 Komponenten (die die 3 Farben davon darstellen) und das Down in den unteren 3. Die 12 SM-Generatoren entsprechen dann einem Dutzend 6 × 6-Matrizen, die auf solche Vektoren wirken.

Die SU(2)-Generatoren belaufen sich auf$\tau^i\otimes 1\!\!1_3$, also 2×2-Pauli-Matrizen mit 3×3-Identitätsmatrizen in jedem ihrer Einträge. Die SU(3) betragen ebenfalls$1\!\!1_2\otimes \lambda^a$, das heißt Gell-Mann-Matrizen, die auf den u- Triplettblock wirken und die gleichen auf den d- Block. Die Hyperladung pendelt mit allem und beträgt 1/3 oder 1/6 (je nach Konvention: die durchschnittliche Ladung des Dubletts oder das Doppelte) mal$1\!\!1_2 \otimes 1\!\!1_3$.

Abgesehen von der Hyperladung verschwindet die Spur jeder der verbleibenden 11 Matrizen – sehen Sie das? Darüber hinaus ist das 1-2-3-Produkt, das Sie berücksichtigen sollen, somit proportional zu$\tau^i\otimes \lambda^a$, auch spurlos.

Die Spur des Kronecker-Produkts ist das Produkt der Spuren der Tensorfaktoren, vgl. die letzte Gleichung hier . (Wenn dies für Sie nicht schmerzhaft offensichtlich wäre, betrachten Sie die Diagonale$\tau^3\otimes \lambda^3$.) Jetzt erkennen Sie, wie dies auch für alle Wiederholungen gilt, einschließlich der rechtshändigen, bei denen die SU(2)-Generatoren verschwinden. (Es spielt keine Rolle, dass ihre Hyperladung komplizierter ist: Die Spur von 0 für SU(2) ist Null.)

Dies gilt auch für die 2-2-3-Anomalien Ihres Problems, da die Farbteilspur immer verschwindet - und der Antikommutator zweier Pauli-Matrizen die Identität ist, falls Sie das wissen mussten, aber nicht sollten: die duplexierte Spur des Farbraums, der rechte Faktor des Tensorprodukts, verschwindet immer.

In der Praxis führt man die entsprechenden Indizes ein. Zum Beispiel weist der Gluon-Vertex die bloße Zahl auf$(T_R^a)_{\alpha\beta}$Wo$\alpha$Und$\beta$sind die Farbindizes der Quarks in der Schleife. Jeder Quark-Propagator hat a$\delta_{ab}$. Sie erhalten also eine Summe über alle Farben, die die Spur von ergibt$T_R^a$, was 0 ist. Der Photonenscheitelpunkt in diesem Blickwinkel ist nur eine Zahl. Der$Z$vertex ist geheimnisvoller, aber die gleiche Idee gilt: Indizes einführen. Aber um das in der Übung gefragte Ergebnis zu beweisen, müssen Sie das nicht einmal explizit angeben$Z$Vertex, da die obige Untersuchung des Gluon-Vertex Ihnen das Ergebnis liefert.

Es ist einfacher zu verstehen, wenn Sie versuchen, die Amplitude des Dreiecksdiagramms für U (1) zu schreiben$\times$SE(2)$\times$SE(3). Nur zur Erinnerung, wir brauchen die folgende Feynman-Regel für nicht-abelsche Eichtheorien.

Wo$T^a$ist der Generator der Gruppe und "i und j" sind die "Farbladung" des Teilchens. Da wir eine Schleife haben, befinden sich diese Generatoren im Prinzip innerhalb einer Spur, aber da sie Komponenten der Generatoren sind, können wir sie einfach faktorisieren und die Amplitude ist proportional zu den Generatoren.

Dabei ist zu beachten, dass sich die Farbladung einer Wechselwirkung ändert, wenn sie mit dem Eichboson derselben Wechselwirkung interagiert, ansonsten bleibt die Farbladung im Fermionenfluss. Beginnen wir mit dem Dreieck$SU(3)\times SU(2)^2$

wobei "i" die schwache Ladung und "l,m" Farbladungen sind. Beginnen wir im Vertex des schwachen Bosons und gehen gegen den Fermionenfluss. Diese schwache Ladung "i" ändert sich nicht, wenn dieses Fermion mit dem Gluon-Scheitelpunkt interagiert, und es passiert dasselbe, wenn dieses Fermion mit dem zweiten Gluon-Scheitelpunkt interagiert. Dies bedeutet, dass die schwache Ladung "i", die beginnt, am Ende gleich sein sollte (um die schwache Ladung zu erhalten). Anders verhält es sich mit der Farbladung "l", da sie sich in die Farbladung "m" ändert, wenn sie mit dem Gluon-Scheitelpunkt interagiert, und sie ändert sich zurück zu "l" (um die Farbladung zu erhalten), wenn sie mit dem zweiten Gluon-Scheitelpunkt interagiert. So finden wir eine Spur einer Pauli-Matrize, da sich die schwache Ladung nicht geändert hat, und eine Spur von zwei Gell-Mann-Matrizen.

Nun ist es sehr intuitiv, das für die zu zeigen$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$Diagramm gibt es Spuren für jeden Generator.

Abschließend können Sie den Beitrag jedes Dreiecksdiagramms berechnen, indem Sie einfach die Amplitude schreiben und mit den Farbladungen spielen.

Vorbehalt: Verwirren Sie nicht, wenn ich Farbladung sage. Ich habe die Farbladung verwendet, um eine allgemeine Ladung jeder Interaktion und auch für eine starke Interaktion zu bezeichnen.