Was ist die physikalische Bedeutung von Tr(A) bzgl. Matrixdarstellungen in der Gruppentheorie?

Question

Was ist die physikalische Bedeutung von Tr(A) bzgl. Matrixdarstellungen in der Gruppentheorie?

Physik
Eichtheorie
Gruppentheorie
Gruppendarstellungen
Repräsentationstheorie

Doryan Miller

Ich habe den Beitrag auf mathoverflow.SE gesehen, in dem fast dieselbe Frage gestellt wurde, und ich habe diese Antworten tatsächlich durchgeblättert, aber die meisten stehen in einem allgemeineren Kontext, dh Quantenmechanik, und liefern keine konzeptionelle Antwort mit physikalischer Interpretation. Kann jemand einen Einblick oder sogar ein Beispiel in dem oben genannten Kontext geben? (Insbesondere die Theorie der Darstellungen für Symmetriegruppen.)

Chris Müller

Die Gruppentheorie allein hat nicht mehr physikalische Bedeutung als Algebra oder Trigonometrie. Die physikalische Bedeutung entsteht, wenn man sie an eine bestimmte physikalische Theorie wie die Quantenmechanik bindet.

Doryan Miller

Genauer gesagt, der Text, der meine Frage auslöst, ist "Gauge Theory and Variational Principles" von David Bleecker. Was die Anwendung betrifft, vorzugsweise Ableitung von Bewegungsgleichungen in der klassischen Mechanik, wobei die Lagrange-Funktion invariant bezüglich lokaler Transformationen ist. dh eine Eichtheorie

QMechaniker

Welche mathoverflow.SE-Frage? Dies ?

Doryan Miller

mathoverflow.net/questions/13526/…

Robin Ekmann

Denken Sie an die Spur im Yang-Mills-Lagrange

tr F \land ⋆ F

$\operatorname{tr} F \wedge\star F$ Zum Beispiel?

zzz

Die Spur (natürlich mit einer Metrik aufgenommen) eines Vektorfelds in einer relativistischen Theorie transformiert sich wie ein Skalarfeld unter Lorentz-Transformationen.

Jerry Schirmer

Es ist ein darstellungsunabhängiger Skalar unter Gruppentransformationen. Wenn Sie versuchen, einen eichinvarianten Lagrangian zu konstruieren, muss der Generator der Gruppenelemente diese Eigenschaften haben, sonst ist die Theorie nicht eichinvariant.

Antworten (1)

Was ist die physikalische Bedeutung von Tr(A) bzgl. Matrixdarstellungen in der Gruppentheorie?

Die Gruppentheorie allein hat nicht mehr physikalische Bedeutung als Algebra oder Trigonometrie. Die physikalische Bedeutung entsteht, wenn man sie an eine bestimmte physikalische Theorie wie die Quantenmechanik bindet.
Genauer gesagt, der Text, der meine Frage auslöst, ist "Gauge Theory and Variational Principles" von David Bleecker. Was die Anwendung betrifft, vorzugsweise Ableitung von Bewegungsgleichungen in der klassischen Mechanik, wobei die Lagrange-Funktion invariant bezüglich lokaler Transformationen ist. dh eine Eichtheorie
Denken Sie an die Spur im Yang-Mills-Lagrange $\operatorname{tr} F \wedge\star F$ Zum Beispiel?
Die Spur (natürlich mit einer Metrik aufgenommen) eines Vektorfelds in einer relativistischen Theorie transformiert sich wie ein Skalarfeld unter Lorentz-Transformationen.
Es ist ein darstellungsunabhängiger Skalar unter Gruppentransformationen. Wenn Sie versuchen, einen eichinvarianten Lagrangian zu konstruieren, muss der Generator der Gruppenelemente diese Eigenschaften haben, sonst ist die Theorie nicht eichinvariant.

Dox · Answer 1

In der Physik schreibt man (für ein Yang-Mills-Feld) $A_{\mu}^i$ , Wo $\mu$ ist der Raumzeitindex und $i$ ist der `Gruppen'-Index. Genauer gesagt bedeutet es das $A_{\mu}$ nimmt Werte auf (d. h. wird mit den Generatoren von zusammengezogen) einer Lie-Algebra,

A_{μ} = A_{μ}^{ich} T^{ich} = A_{μ}^{ich} (T^{ich})_{M N},

$A_{\mu} = A_{\mu}^i T^i = A_{\mu}^i (T^i)_{mn},$ wobei in die letzte Gleichheit die expliziten Matrixindizes geschrieben wurden.

Daher, $Tr(A_\mu A_\nu)$ bedeutet

T R (A_{μ} A_{v}) = A_{μ}^{ich} A_{v}^{J} T R [(T^{ich}) (T^{J})] = A_{μ}^{ich} A_{v}^{J} (T^{ich})_{M N} (T^{J})_{N M} .

$Tr(A_\mu A_\nu) = A_{\mu}^iA_{\nu}^j \; Tr[(T^i) (T^j)] = A_{\mu}^iA_{\nu}^j \; (T^i)_{mn} (T^j)_{nm} .$

Wie Sie vielleicht bemerkt haben, wirkt der Trace auf die Matrixindizes der Gruppengeneratoren .

Was ist die physikalische Bedeutung von Tr(A) bzgl. Matrixdarstellungen in der Gruppentheorie?

Doryan Miller

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QMechaniker

Doryan Miller

Robin Ekmann

zzz

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Dox

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