Sind Rotationsmatrizen getreue Darstellungen der Rotationsgruppe?

Gegeben eine nicht negative Ganzzahl$j\in\mathbb{N}_0$, die Dreh-$j$ Gruppenrepräsentation / Homomorphismus

$$\rho: SO(3)~\to~ GL(2j+1,\mathbb{R})$$

ist treu /injektiv iff$j>0$, aber technisch gesehen niemals ein Gruppenisomorphismus, da er niemals surjektiv ist,

$${\rm Im}(\rho)~\subsetneq~ GL(2j+1,\mathbb{R}) .$$

Ja, in dem Sinne, dass es sie gibt

$$R(\Omega_1)\cdot R(\Omega_2)= R(\Omega_1\cdot \Omega_2) \Rightarrow \sum_m D^{j}_{m_1m}(\Omega_1)D^j_{mm_2}(\Omega_2) =D^j_{m_1m_2}(\Omega_1\cdot \Omega_2)$$ gültig für alle $j$, obwohl natürlich analytisch findend $\Omega_1\cdot\Omega_2$in Bezug auf die Tripel von Parametern $\Omega_1$Und $\Omega_2$ist normalerweise chaotisch.

Der Fall$j=1$ist die definierende Darstellung, also sind die Matrizen, die Sie erhalten, identisch mit denen, die Sie erhalten, wenn Sie Drehungen im 3-Raum geometrisch konstruieren. (Normalerweise die$D$'s sind in einer kugelförmigen Basis, also müssen Sie Kombinationen von berücksichtigen$\hat x\pm i\hat y$als Basisvektoren.

Eine Möglichkeit zu verstehen, warum dies wahr ist, besteht darin, dass die Rotationsmatrizen Exponentiale der Algebra sind$\{J_x,J_y,J_z\}$, dass die eine getreue Darstellung der Algebra durch$(2j+1)\times (2j+1)$Matrizen werden auch zu einer getreuen Darstellung (derselben Dimension) der Gruppe potenziert.