Irrep entspricht einer Drehung, wie lautet die Definition?

Es ist lange her, seit ich etwas über Punktgruppen gelernt habe. Aber ich werde es versuchen.

Ich glaube, dass wir in der Basis über die Matrixdarstellung sprechen$(x,y,z)$, in diesem Fall sehen sie vertraut aus$3\times 3$Rotationsmatrizen. Aber nicht das Set von allem $3\times 3$Rotationsmatrizen! Es gibt (wie Sie sagten) 8 Symmetrieoperationen der$C_3$Art, die im Grunde Drehungen im und gegen den Uhrzeigersinn sind$120^\circ$um die vier dreizähligen Achsen eines Objekts mit tetraedrischer Symmetrie. Jeder von ihnen kann durch a dargestellt werden$3\times 3$Rotationsmatrix und die über die$z$-Achse nimmt die in Ihrer Frage angegebene Form an. Es ist nur üblich, das System so auszurichten$z$liegt entlang dieser Hochsymmetrieachse. Es ist nicht wahr, dass ein General $R_z$mit Willkür$\theta$entspricht dem$T$irreduzible Darstellung: nur die Rotationsmatrizen, die den spezifischen Winkeln und Achsen der Symmetrieoperationen entsprechen.

Entscheidend ist, dass der Charakter der Operation jeweils durch die Spur des Matrixrepräsentanten gegeben ist. Für die$C_3^+$Und$C_3^-$Operationen über$z$,$\theta=\pm120^\circ=\pm2\pi/3$,$\cos\theta=-\frac{1}{2}$und die Spur der Matrix in Ihrer Frage ist Null, was in den Zeichentabellen erscheint. Dasselbe gilt für alle anderen Matrizen, die den anderen darstellen$C_3^\pm$Operationen um andere Achsen: Obwohl sie im Allgemeinen eine kompliziertere Form haben, haben sie diese Eigenschaft gemeinsam: Die Spur einer Rotationsmatrix ist immer $1+2\cos\theta$Wo$\theta$ist der Gesamtdrehwinkel. (In ähnlicher Weise für die$C_2$Operationen, denen die Rotationsmatrizen entsprechen$\theta=180^\circ=\pi$,$\cos\theta=-1$, das aus der Spur berechnete Zeichen, ist$1+2\times(-1)=-1$, und dies ist die Nummer, die in den Zeichentabellen erscheint.)

Man wendet die Matrix, die die Symmetrieoperation darstellt, auf die Elemente in der Basis an . In Ihrer Frage scheinen Sie zu erwägen, die Rotationsoperation anzuwenden ($C_3$) zur Rotationsmatrix ($R_z$) selbst, so funktionieren die Dinge nicht (womit ich meine, nicht hilfreich bei der Bestimmung der Zeichen, die in Zeichentabellen für die verschiedenen Operationen im 3-dimensionalen erscheinen$T$irreduzible Darstellung).

Wie die verschiedenen Kommentatoren angedeutet haben, bin ich sicher, dass es ein breiteres allgemeines Wissen über Punktgruppen auf Chemistry StackExchange gibt. Es ist von zentraler Bedeutung für das Verständnis der Molekülsymmetrie und der Atomorbitale in Kristallfeldern, daher ist sicherlich viel Fachwissen vorhanden. Wenn diese Antwort also nicht hilft und niemand eine bessere anbietet, sollten Sie es auf jeden Fall dort versuchen. Aber das macht hoffentlich irgendwie Sinn.

[Bearbeiten, nach OP-Kommentaren]. Mehrere Punkte zu beantworten.

Ja, das Hauptmerkmal des Charakters ist, dass er unveränderlich gegenüber einem Basiswechsel ist (Ähnlichkeitstransformation) und daher mit der Spur der Transformationsmatrizen verbunden ist, die diese Eigenschaft hat.

Ich bin mit der Terminologie nicht einverstanden

ein solches Irrep (das die Rotation höchster Ordnung in der Gruppe darstellt)

Die Menge der Matrizen als Ganzes bildet die Darstellung (für eine gegebene Basis). Teilmengen dieser Matrizen entsprechen konjugierten Operationen, dh Operationen, die zu derselben Klasse gehören : diese Matrizen in derselben Klasse haben denselben Charakter. Typischerweise umfassen sie die gleiche Art von Operation, werden jedoch in Bezug auf Symmetrieelemente ausgeführt, die (selbst) durch eine Symmetrieoperation in Beziehung stehen.

Dies bedeutet, dass es nicht notwendigerweise zutrifft, dass ähnliche Arten von Operationen, die in Bezug auf "unterschiedliche Arten von Rotationsachsen" ausgeführt werden, denselben Charakter haben. Alles hängt von der irrep ab, die wiederum mit der Basis zusammenhängt: die Anzahl und Art der Funktionen, die durch die Transformationen ineinander umgewandelt werden. Ich habe nur diesen besonderen Fall der besprochen$(x,y,z)$Basis, in der die Matrizen die vertrauten sind$3\times 3$Rotationsmatrizen (weil wir effektiv Vektoren drehen). Für die$D_{8h}$Gruppe gibt es keine entsprechende 3-dimensionale Irrep. Es gibt verschiedene nicht äquivalente zweifache Achsen (verschiedene Klassen) und verschiedene ein- und zweidimensionale Irreps: In der Zeichentabelle gibt es verschiedene unterschiedliche Zeichen, die sowohl vom Irrep- als auch vom Achsentyp (Klasse) abhängen. Sie müssten sich die Matrix für ein einfaches Beispiel für jeden Fall ansehen, um das Zeichen zu bestimmen.

Kommen wir zur Ikosaedergruppe, gibt es eine dreidimensionale$T_1$irrep, das die Basis transformiert$(x,y,z)$, und soweit ich das beurteilen kann, passt dies zu dem Muster, das ich oben beschrieben habe. Auf der Wikipedia-Seite ist das Zeichen für$C_5$ist gegeben als$2\cos\theta$Wo$\theta=\pi/5$, und das ist gleich$1+2\cos 2\pi/5$(Der Drehwinkel ist$2\pi/5$). Es gibt jedoch eine andere dreidimensionale Irrep,$T_2$, für die das Zeichen für$C_5$ist anders. Diese Operationen sind also unterschiedlich. Sie sind immer noch Rotationen durch$2\pi/5$, aber die transformierten Objekte sind keine einfachen Vektoren . Sie müssten nach einer geeigneten Grundlage für diesen Irrep suchen, ich kenne mich nicht genug damit aus. Im Allgemeinen entsprechen die Matrizen sowohl der durchgeführten Operation als auch den rotierten Dingen. (Oder im allgemeineren Fall reflektiert usw.).

Auch hier hoffe ich, dass dies die Dinge ein wenig klarer macht. Es ist nicht ganz einfach. Vielleicht finden Sie ein Buch hilfreich: Chemical Applications of Group Theory von FA Cotton ist gründlich, aber es gibt möglicherweise aktuellere Alternativen.