Das wissen wir für spezielle orthogonale Gruppen es gibt invariante Tensoren (invariant unter der Gruppenwirkung). Diese sind und die total antisymmetrisch Tensor.
Ähnlich für die invarianten Tensoren sind , Und ( ist ein invarianter Tensor von auch aber nicht so für die 'S).
Diese Objekte sind sehr nützlich beim Konstruieren von Singlets aus Objekten, die sich unter Darstellungen von transformieren oder .
Frage 1: Gibt es solche Tensoren für die symplektische Gruppe und außergewöhnliche Gruppen? Die Gruppen interessieren mich besonders Und . Gibt es eine systematische Methode, um dasselbe zu erhalten?
Frage 2. Diese Frage dient nur der Neugier. Können wir auch invariante Tensoren für Supergruppen wie finden oder das erscheint in zahlreichen -erweiterte supersymmetrische Feldtheorien?
Hier ist eine Teilantwort: Definieren als Gruppe von Matrizen so dass Wo ist eine nicht entartete antisymmetrische Matrix. Dann ist ein invarianter Tensor ähnlich dem Kronecker-Delta für orthogonale Transformationen. Ich glaube nicht, dass es noch mehr gibt (nicht 100% sicher).
Für : kann als die Gruppe definiert werden, die einen antisymmetrischen Tensor zweiten Ranges bewahrt und ein totalsymmetrischer Tensor vierten Ranges mit (dh die 56-dimensionale Darstellung ist die definierende Darstellung). Ausführlicher:
Der Die Beschreibung ist im Buch Group Theory von P. Cvitanovic beschrieben . Sie können dort nach den supersymmetrischen Gruppen suchen, für die er einen interessanten Ansatz hat.
Orbifold
sicher