Gibt es bekannte potenziell nützliche nichttriviale irreduzible Darstellungen der Lorentz-Gruppe O(3,1)O(3,1)O(3,1) mit einer Dimension größer als 4? Beispiele?

Irreduzible Darstellungen der Lorentz-Gruppe werden eindeutig beschrieben durch$(j_L,j_R)$wobei beide Zahlen zur Menge gehören$\{0,1/2,1,3/2,2,\dots\}$. Die Dimension der Darstellung ist einfach

In der Quantenphysik sind wir an einheitlichen Darstellungen interessiert, weil sie die Hilbertraumnorm bewahren. Die meisten Darstellungen der Lorentz-Gruppe von Interesse in der Quantenphysik sind unendlich dimensioniert. Der Grund dafür ist, dass bei nicht kompakten Gruppen Einheitlichkeit unendliche Dimensionalität impliziert. Beispiele für solche Darstellungen sind die Aktionen der Lorentz-Gruppe auf die Hilbert-Räume von Lösungen der Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen, die beide unendlich dimensional sind. Für den Fall der Klein-Gordon-Gleichung siehe Gleichung (2.59) im folgenden Vorlesungsskript von Arthur Jaffe.

Alle unitären irreduziblen Darstellungen von$SO(3,1)$sind notwendigerweise unendlichdimensional. Tatsächlich ist die Einstufung in Bezug auf$(j_R,j_L)$ist wirklich eine Klassifizierung der Komplexität von$so(3,1)$, die isomorph zu ist$su(2)\oplus su(2)$: als endlichdimensionale Matrizen, die Generatoren von Boost, wenn sie wieder ausgepackt werden$su(2)\oplus su(2)$, kann nicht gleichzeitig mit den Generatoren von hermitesch gemacht werden$so(3)$.

Während endlichdimensionale nicht-einheitliche Darstellungen der Komplexifizierung von$so(3,1)$sind alle mit zwei reellen Zahlen gekennzeichnet$(j_R,j_L)$, unendlich dimensionale unitäre Irreps sind es nicht. Während Irreps immer durch zwei ganze Zahlen gekennzeichnet sind, werden einige Darstellungen mit einem Grundzustand durch eine reelle ganze Zahl gekennzeichnet, die die kleinste Darstellung von kennzeichnet$so(3)$im irrep und eine rein imaginäre Zahl, die nicht unbedingt ganzzahlig ist.