Warum identifizieren wir in der Stringtheorie symmetrische Tensoren 2. Grades mit Spin-2-Teilchen?

Question

Warum identifizieren wir in der Stringtheorie symmetrische Tensoren 2. Grades mit Spin-2-Teilchen?

Physiker

Ich gehe Tongs Vorlesungsnotizen zur Stringtheorie durch und bin auf die folgende irrep-Zerlegung (Kapitel 2, S.43) der ersten angeregten Zustände der bosonischen Saite gestoßen:

spurlos symmetrisch \oplus antisymmetrisch \oplus \underset{= verfolgen}{\underset{⏟}{Unterhemd}}

$\text{traceless symmetric} \oplus \text{anti-symmetric} \oplus \underbrace{\text{singlet}}_{=\text{trace}}$

Dann fährt er fort und behauptet, dass der spurlose symmetrische Tensor das Spin-2-Graviton ist.

Was ist der Grund für diese Behauptung? Gibt es einen Zusammenhang zwischen Freiheitsgraden und dem Spin eines Teilchens in beliebig vielen Dimensionen? Ich erinnere mich an die $SU(2)$ irrep Zersetzung, dass die $\ell=1$ irrep hat 3 dof, genau wie ein massives Spin-1-Teilchen hätte. Aber was ist mit masselosen Teilchen, die in 26 Dimensionen leben?

frei

Nun, das Graviton muss an den völlig symmetrischen Spannungsenergietensor Rang 2 koppeln, also muss es Rang/Spin-2 sein, und ein antisymmetrischer Teil trägt nicht bei, wenn die Lorentz-Indizes mit dem symmetrischen Spannungsenergietensor kontrahiert werden.

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/14484/2451 physical.stackexchange.com/q/24214/2451 und physical.stackexchange.com/q/47547/2451

Peter Krawtschuk

@innisfree, die Frage wird tatsächlich im Zusammenhang mit der Lichtkegelquantisierung gestellt, daher sind die Indizes nicht wirklich lorentzianisch.

Peter Krawtschuk

Tatsächlich ist es eine interessante Frage. Naiv,

S O (24)

$SO(24)$ entspricht

D_{12}

$D_{12}$ einfache Lie-Algebra und sollte eine Fülle von inäquivalenten Darstellungen haben, die nicht auf offensichtliche Weise durch eine einzige Zahl gekennzeichnet werden können. Wahrscheinlich entstehen alle (entsprechenden Vektorrepräsentanten der Gruppe, abgesehen von den Spinoren) durch das Tensorieren der fundamentalen Repräsentanten, daher die "Spin-.."-Namen. Es wäre wunderbar, wenn jemand dies richtig beantworten könnte.

Trimok

In einem

D

$D$ dimensionale Raumzeit, ein masseloses Teilchen ist eine Darstellung davon

S O (D - 2)

$SO(D - 2)$ . Das Graviton entspricht der symmetrischen spurlosen Darstellung von

S O (D - 2)

$SO(D - 2)$ was Dimension hat

\frac{D (D - 3)}{2}

$\frac{D(D - 3)}{2}$

Kosmas Zachos

Flockige Sprache, aber Sie interpretieren sie falsch. Er erklärt in obiger Gleichung 2.31, dass er über D=4 spricht, unsere in 26 eingebettete Raumzeit, und er spricht über das (4D)-Partikel „in“ (wie in „eingebettet in“) die 26 Dimensionen, die geht mit Spin 2 und den 2 Polarisationszuständen. Wie Trimok oben sagt, hat das Graviton in D=26 299 Freiheitsgrade, und nur in D=4 hat es 2.

Antworten (1)

Warum identifizieren wir in der Stringtheorie symmetrische Tensoren 2. Grades mit Spin-2-Teilchen?

Nun, das Graviton muss an den völlig symmetrischen Spannungsenergietensor Rang 2 koppeln, also muss es Rang/Spin-2 sein, und ein antisymmetrischer Teil trägt nicht bei, wenn die Lorentz-Indizes mit dem symmetrischen Spannungsenergietensor kontrahiert werden.
Verwandte: physical.stackexchange.com/q/14484/2451 physical.stackexchange.com/q/24214/2451 und physical.stackexchange.com/q/47547/2451
@innisfree, die Frage wird tatsächlich im Zusammenhang mit der Lichtkegelquantisierung gestellt, daher sind die Indizes nicht wirklich lorentzianisch.
Tatsächlich ist es eine interessante Frage. Naiv, $SO(24)$ entspricht $D_{12}$ einfache Lie-Algebra und sollte eine Fülle von inäquivalenten Darstellungen haben, die nicht auf offensichtliche Weise durch eine einzige Zahl gekennzeichnet werden können. Wahrscheinlich entstehen alle (entsprechenden Vektorrepräsentanten der Gruppe, abgesehen von den Spinoren) durch das Tensorieren der fundamentalen Repräsentanten, daher die "Spin-.."-Namen. Es wäre wunderbar, wenn jemand dies richtig beantworten könnte.
In einem $D$ dimensionale Raumzeit, ein masseloses Teilchen ist eine Darstellung davon $SO(D - 2)$ . Das Graviton entspricht der symmetrischen spurlosen Darstellung von $SO(D - 2)$ was Dimension hat $\frac{D(D - 3)}{2}$
Flockige Sprache, aber Sie interpretieren sie falsch. Er erklärt in obiger Gleichung 2.31, dass er über D=4 spricht, unsere in 26 eingebettete Raumzeit, und er spricht über das (4D)-Partikel „in“ (wie in „eingebettet in“) die 26 Dimensionen, die geht mit Spin 2 und den 2 Polarisationszuständen. Wie Trimok oben sagt, hat das Graviton in D=26 299 Freiheitsgrade, und nur in D=4 hat es 2.

Kraft · Answer 1

Die Drehung $s$ eines Teilchens charakterisiert, wie die Rotationsgeneratoren darauf einwirken. Im $D$ Dimensionen, Sie repräsentieren die kleine Gruppe $SO(D-1)$ für massive Teilchen u $SO(D-2)$ für Masselose. In der Tat müssen Sie wirklich die universelle Abdeckung berücksichtigen $\textrm{Spin}(n)$ was zufällig nur seine doppelte Abdeckung ist.

Jetzt können Sie den Spin als die größte reelle Zahl definieren $s$ so dass

e x p (\frac{2 ich π}{s} J) = ich d

$\mathrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{s}J\right) = \rm{id}$ wo

J

$J$ ist ein beliebiger Generator in Ihrer Darstellung. Dies ist im Grunde die Aussage, dass Sie, um zur Identität zurückzukehren, Folgendes tun müssen

4 π

$4\pi$ Rotation für Spin

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , a

2 π

$2\pi$ für Drehung 1, a

π

$\pi$ für Spin 2 ... Beachten Sie, dass, da die universelle Abdeckung die doppelte Abdeckung ist,

s

$s$ muss eine halbe ganze Zahl sein.

Es ist klar, dass Lorentz-Vektoren den Spin 1 haben. Nehmen wir einen symmetrischen 2-Tensor $T_{\mu\nu}$ . Es verwandelt sich als $T'_{\alpha\beta} = R^{\:\,\mu}_{\alpha}R^{\:\,\nu}_{\beta}T_{\mu\nu}$ , wo $R = \mathrm{exp}(i\theta J)$ sind das Übliche $SO(n)$ Matrizen. Unendlich,

\begin{aligned} δ T_{a β} & = ich θ (J_{a}^{μ} δ_{β}^{v} + J_{β}^{v} δ_{a}^{μ}) T_{μ v} \\ = 2 ich θ J_{a}^{μ} T_{μ β} \end{aligned}

$\begin{align} \delta T_{\alpha\beta} & = i\theta(J^{\:\,\mu}_{\alpha}\delta^{\:\,\nu}_\beta + J^{\:\,\nu}_{\beta}\delta^{\:\,\mu}_\alpha)T_{\mu\nu} \\ & = 2 i\theta J^{\:\,\mu}_{\alpha}T_{\mu\beta} \\ \end{align}$ wobei die Symmetrie des Tensors entscheidend ist. Nun, weil

e x p (2 i π J) = 1

$\mathrm{exp}(2i\pi J) = 1$ , sehen Sie das für

θ = π

$\theta = \pi$ , kommen Sie zurück zur Identität. Das ist Spin 2!

Sie können dies verallgemeinern, um zu zeigen, dass spurlose symmetrische n-Tensoren Spin n sind. Sie müssen spurlos sein, weil Sie irreduzible Repräsentationen wollen. Damit sollte es nicht allzu schwer sein, die Freiheitsgrade eines Spins abzuleiten $s$ Teilchen hinein $D$ Dimensionen zB für das Graviton, ist es $D(D-3)/2$ .

Danke für diese Antwort. Die Feldstärke $F$ verwandelt sich auch mit $F'_{\alpha \beta}=R_\alpha^\mu R_\beta^\nu F_{\mu \nu}$ , Korrekt? Warum also bedeutet diese Logik nicht auch das? $F$ ist Spin-2?
Beim Umwandlungsgesetz sind Sie richtig. $F$ ist nicht Spin 2, weil er antisymmetrisch ist. Die Variation der beiden Indizes addiert sich nicht wie bei symmetrischen Tensoren. Daher, $F$ muss als Spin-1-Feld betrachtet werden.
Okay, damit können Sie die Indizes austauschen $T$ . Vielen Dank!

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Physiker

frei

QMechaniker

Peter Krawtschuk

Peter Krawtschuk

Trimok

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Kraft

Rokoko

Kraft

Rokoko

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) Darstellung von SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Gibt es bekannte potenziell nützliche nichttriviale irreduzible Darstellungen der Lorentz-Gruppe O(3,1)O(3,1)O(3,1) mit einer Dimension größer als 4? Beispiele?

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