Vektor- und Spinordarstellung in der Ramond-Neveu-Schwarz-Superstring-Theorie

Ja, sie sind Darstellungen von$SO(8)$, etwas präziser$Spin(8)$das ist eine "Verbesserung" von$SO(8)$wodurch die Drehung um 360 Grad durch eine von der Einheitsmatrix verschiedene Matrix dargestellt werden kann, nämlich eine Minus-Einheitsmatrix.

${\bf 8}_v$verwandelt sich normalerweise als

$$v\mapsto M v$$ Wo $MM^T=1$ist der $8\times 8$echt orthogonal $SO(8)$Matrix. Die Spinor-Wiederholungen ${\bf 8}_s\oplus {\bf 8}_c$Beschriften Sie jeweils den linkshändigen und den rechtshändigen Spinor. Menschen lernen Spinoren normalerweise lange bevor sie sich mit der RNS-Stringtheorie befassen.

Die Spinor-Darstellung transformiert unter$SO(8)$auf eine Weise, die durch die Transformationsregeln unter Infinitesimal vollständig codiert ist$SO(8)$Transformationen,$1+i\omega_{ij} J^{ij}$Wo$\omega$sind die Winkelparameter und$J$sind die Generatoren.

In der Dirac-Spinor-Darstellung gilt$J_{ij}$wird geschrieben als

$$J_{ij} = \frac{\gamma_i \gamma_j - \gamma_j\gamma_i}{4}$$ Wo $\gamma$sind die Dirac-Matrizen, die als Tensorprodukte von Pauli-Matrizen und der Einheitsmatrix geschrieben werden können und gehorchen $$\gamma_i\gamma_j+\gamma_j\gamma_i = 2\delta_{ij}\cdot {\bf 1}$$ Jedes Paar hinzugefügter Dimensionen verdoppelt die Größe der Dirac-Matrizen, also die Dimension der gesamten "Dirac"-Darstellung $SO(2n)$Ist $2^n$. Für $n=4$wir bekommen $2^4=16$.

Diese 16-dimensionale Spinor-Darstellung ist reell und kann entsprechend dem Eigenwert von aufgeteilt werden$\Gamma_9$Chiralitätsmatrix, zu den 8-dimensionalen chiralen (=Weyl) Spinordarstellungen, die mit den Indizes s,c gekennzeichnet sind.

Für$SO(8)$, gibt es 3 echte 8-dimensionale irreduzible Darstellungen, die "gleich gut" sind und tatsächlich durch eine Operation namens "Trialität" permutiert werden können. Diese Operation kann als die angesehen werden$S_3$Permutationssymmetrie der 3 Beine des Mercedes-Logos$SO(8)$Dynkin-Diagramm. Ich habe gerade gestern Abend einen Text darüber geschrieben:

http://motls.blogspot.cz/2013/04/complex-real-and-pseudoreal.html?m=1

Wenn Sie wirklich erklären müssen, was eine Darstellung einer Gruppe ist, sollten Sie Ihr Studium der Stringtheorie unterbrechen und sich auf die Gruppentheorie konzentrieren – Stichworte Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Darstellungstheorie. Ohne diesen Hintergrund würden Sie zu oft auf ähnliche Verwirrung stoßen.