Die Frage betrifft die nach Untergruppen zerlegte Spinordarstellung. Es ist eine gängige Technik in der Stringtheorie, wenn Teile von Dimensionen verdichtet und ignoriert werden und wir uns nur für die verbleibende Subsymmetrie interessieren. Ich lerne es aus dem Anhang B in Polchinskis großem Buch Band II. Für eine bestimmte Zerlegung (B.1.43) zerfallen die Weyl-Spinoren als Formel (B.1.44), Und , Wo Und sind die Weyl-Darstellungen der Lorentz-Gruppe mit Chiralität +1 bzw. -1.
Konkret zum Fall mit Zersetzungen , die bei (B.6.3) erscheint. Meine Frage ist der Widerspruch mit minimalen Darstellungen . Durch Überprüfung der Majorana- und Weyl-Bedingungen haben die minimalen Spinoren für d = 6 und d = 4 8 bzw. 4 Komponenten. (Ref. Tabelle B.1 Polchinski) So wie finden Sie Vertretung für ?
Außerdem interessiere ich mich sehr für den Beweis von (B.1.44) unter (B.1.43)? Wie wird es bewiesen, indem man die Eigenwerte von vergleicht? wie von Polchinski behauptet?
Sie sind verwirrt darüber, wie die Dimensionen von Repräsentationen gezählt werden. Im Allgemeinen handelt es sich um komplexe Dimensionen, nicht um reale.
Genauer gesagt gibt es drei Arten von Repräsentationen von Lie-Gruppen: die komplexen, die realen und die pseudorealen. Die komplexen sind ihren komplexen Konjugaten nicht äquivalent. Die reellen und pseudorealen sind äquivalent zu ihren komplexen Konjugierten und die reellen sind derart, dass die Äquivalenz verwendet werden kann, um zu fordern, dass die Koordinaten der Darstellungen real sind. Die pseudorealen oder "quaternionischen" Darstellungen können auf diese Weise nicht reduziert werden, aber sie sind im Wesentlichen immer noch äquivalent zu ihren komplexen Konjugaten Und durch die Kugel ständig miteinander verbunden sein können der Einheit, reine imaginäre Quaternionen.
ist lokal isomorph zu es hat also zwei unäquivalente zweidimensionale komplexe (pseudoreale) Darstellungen. Einer von ihnen ist Dublett unter dem ersten und invariant unter dem zweiten Transformationen, das andere ist ein Dublett unter dem anderen .
Ähnlich, ist eine Art Gruppe von Matrizen mit quaternionischen Einträgen, deren „Realteil der Determinante“ gleich eins ist. Diese Gruppe kann in Bezug auf geschrieben werden komplexe Matrizen, also eine Untergruppe von . Es folgt dem hat 4-dimensionale (komplexe, gut, pseudoreale) fundamentale Darstellungen. Nun, es hat zwei unäquivalente pseudoreale Fundamentaldarstellungen und sie sind keine komplexen Konjugierten zueinander. Stattdessen entspricht jeder von ihnen dem komplexen Konjugat seiner selbst.
Also nur für reale Darstellungen folgt das Zählen der Dimensionen dem, was Sie glauben. Komplexe Darstellungen, die keine natürliche "Beschränkung auf Realisierung der Koordinaten" (ohne Verdopplung) zulassen, sind komplex und mit der Dimension meinen wir die Anzahl der komplexen Koordinaten (ohne Multiplikation mit zwei). Vertretungen mit quaternionische Koordinaten werden als gezählt -dimensionale komplexe Darstellungen. Dies ist die vereinheitlichte Art, Repräsentation zu behandeln, die zu einem einheitlicheren und regelmäßigeren Satz von Regeln führt, um zu bestimmen, wie sich Dinge verhalten. Dies ist der natürlichste Weg, da er auf komplexen Zahlen basiert und komplexe Zahlen grundlegender sind als reelle Zahlen oder Quaternionen. (Fundamentalsatz der Algebra und andere Gründe.) Reelle und quaternionische Darstellungen werden als komplexe Darstellungen mit der besonderen Freiheit klassifiziert, Koordinaten zu "konjugieren", dh mit einer speziellen "antilinearen Strukturkarte". ", das mit der Aktion der Gruppe pendelt . Für echte Wiederholungen, , für pseudoreale, Und kann wörtlich als Multiplikation mit interpretiert werden Quaternion von der rechten Seite.
Um B.1.43 und B.1.44 herum sagt Joe Ihnen einfach, dass Sie die Darstellungen auf beiden Seiten diagonalisieren und mögliche Eigenwerte aller Operatoren auflisten sollen - Betrachten Sie die Basis der Darstellung, die alle gemeinsamen Eigenzustände aller enthält Betreiber. Alle diese Eigenwerte von Sind - Die Sammlung wird als Gewicht bezeichnet. Ob die Nummer des Negativs Eigenwerte gerade oder ungerade entscheiden über die Chiralität des Spinors.
Die linke Seite von B.1.44 sind also die Sammlungen von Gewichten (Eigenwerte unter Operatoren), das sind jeweils und die Anzahl der negativen Eigenwerte ist gerade (a) oder ungerade (b). Sie können als Tensorprodukte von Sammlungen kleinerer Mengen erhalten werden, für die die Chiralitäten gerade für die linke Gruppe und gerade für die rechte Gruppe oder ungerade für die linke Gruppe und ungerade für die rechte Gruppe (a) oder gerade-ungerade oder ungerade sind -gerade (b). Deshalb zerfällt der irreduzible Rep der größeren Gruppe in die direkte Summe zweier irreduzibler Reps der Faktorgruppen und jeder der beiden Terme in der direkten Summe ist ein Tensorprodukt zweier Weyl-Spinoren.