Spuren in unterschiedlicher Darstellung

Viel Glück. Zur Prüfung der Absage für bestimmte Gruppen wie z$E_8\times E_8$Und$SO(32)$, werden Sie in der Tat ähnliche gruppentheoretische Aufgaben bewältigen müssen. Ähnliche Spurenformel für die Spuren von$E_8$Transformationen sind besonders lecker, einschließlich des Faktors$1/30$.

Der orthogonale Fall ist einfacher, auch wenn man kein intimer Freund aller "Chern-Sachen" ist, und ich bin es nicht.

In deiner Formel$\exp(iF)$kann als allgemeines Element der verstanden werden$SO(n)$Gruppe während$F$ist ein Element der Lie-Algebra. Letzteres ist in der Fundamentaldarstellung antisymmetrisch, OK? Es kann also "diagonalisiert" werden, und die Eigenwerte werden paarweise gepaart$\pm\lambda_i$.

Ähnlich,$\exp(iF)$diagonalisiert werden können und die Eigenwerte paarweise auftreten$\exp(\pm i\lambda_j)$, OK? Alternativ die$2\times 2$Block mit diesen Eigenwerten kann als Matrix geschrieben werden$((\cos\lambda_j,\sin\lambda_j),(-\sin\lambda_j,\cos\lambda_j))$.

Nun ist es wichtig zu erkennen, wie die Matrixelemente in der adjungierten Darstellung aussehen. Die adjungierte Darstellung von$SO(n)$Ist$n(n-1)/2$dimensional, okay? Lassen Sie mich davon ausgehen$n$ist sogar - einbetten$SO(2k+1)$Zu$SO(2k+2)$Falls benötigt. Es ist der antisymmetrische Teil des Tensorprodukts$n\times n$. Werden also die Matrixelemente einer Transformation unterzogen$\exp(iF)$in der fundamentalen Darstellung sind$\exp(i\lambda_j)$, sind die Matrixelemente in der adjungierten (antisymmetrischen Tensor-)Darstellung Kombinationen von Produkten zweier solcher Dinge, dh Kombinationen von$\exp(i\lambda_j+i\lambda_k)$, OK?

Das sieht man leicht, wenn man diagonalisiert$\exp(iF)$in der Fundamentaldarstellung, mit Eigenwerten$\exp(\pm \lambda_j)$, die Spur über der fundamentalen Darstellung ist nur die Summe dieser Phasen, die ist

$${\rm tr} (\exp(iF)) = \sum_{\pm} \sum_j \exp(\pm i\lambda_j) = 2\sum_j \cos\lambda_j$$ In der natürlich assoziierten Basis der adjungierten Darstellung die Transformation $\exp(iF)$ist auch diagonalisiert. Weil das $n(n-1)/2$Basisvektoren sind nur Paare von Basisvektoren der fundamentalen Darstellung, die Diagonaleinträge von $\exp(iF)$sind nur Produkte zweier diagonaler Einträge in der fundamentalen Darstellung, also sind sie $$\exp(\pm i\lambda_j\pm i\lambda_k), \quad j \lt k$$ wo die beiden $\pm$Zeichen sind unabhängig. Die Spur ist die Summe all dieser Zahlen, die ist $${\rm Tr}(\exp(iF)) = \sum_{j\lt k} \left[ 2\cos(\lambda_j+\lambda_k)+2\cos(\lambda_j-\lambda_k) \right]$$ Dies ist die linke Seite Ihrer Identität. Der erste Begriff auf der RHS ist $$\frac 12 2^2\left(\sum_j \cos\lambda_j \right)^2$$ wo ich gerade ein vorheriges Ergebnis quadriert habe, während der zweite Term ist $$- \frac 12 \sum_j 2\cos 2\lambda_j$$ wo ich gerade das Argument des Kosinus verdoppelt habe. Nun können beide Seiten vereinfacht werden $$4\sum_{j\lt k} \cos \lambda_j \cos \lambda_k$$ Im Fall der linken Seite liegt es daran, dass die $\sin\cdot\sin$Terme heben sich auf, wenn man die beiden Terme mit gleichem oder entgegengesetztem Vorzeichen summiert. Sie nutzen $\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a \sin b$– vielleicht wäre sowieso alles einfacher mit der komplexen Exponentialschreibweise. Im Falle der rechten Seite, der $j\neq k$Terme aus dem ersten Term sind richtig, einschließlich des richtigen Faktors von vier, während die $j=k$Terme sollten vom ersten Term um den zweiten Term subtrahiert werden. Nun, es bleibt ein konstanter Begriff übrig: $$2\cos^2 \lambda_j - \cos 2\lambda_j = 1$$ Aber die konstanten Terme stimmen überein, weil sie verifiziert werden, wann $\lambda_j=0$für alle $j$. Die Spur des Identitätsoperators ( $F=0$) auf der linken Seite ist $n(n-1)/2$, einfach die Dimension der Wiederholung, während der erste Begriff auf der rechten Seite erzeugt $n^2/2$und der zweite gibt dir $-n/2$also alles ok.

Ich bin sicher, Sie füllen die Details aus und fragen, ob etwas wirklich zusätzliche Unterstützung benötigt.

Natürlich, dass es Beweise gibt, die die Diagonalisierung vermeiden, und Beweise, die konzeptionell mit eher esoterischen Teilen der Mathematik verbunden sind. Aber eine explizite Berechnung mit den expliziten Matrixelementen der Transformationen relativ zu beiden Darstellungen könnte hilfreich sein, um sie mindestens einmal im Leben durchzuführen.

Übrigens ist Ihnen vielleicht aufgefallen, dass die Basis, in der die Transformationen diagonalisiert wurden, „komplex“ war – die Koordinaten der Eigenvektoren relativ zur „üblichen reellen Basis“ der$n$-dimensionaler Raum waren komplex. Aber das ist kein Problem. Ich habe gerade ein allgemeineres Problem für die Spuren im Ganzen gelöst$SO(n,C)$Gruppe und das Ergebnis für$SO(n,R)$kann als Sonderfall davon angesehen werden. Ganz allgemein sollte man in der Physik und "tief genug" Mathematik niemals gegen komplexe Zahlen (komplexe Koordinaten von Eigenvektoren und vielleicht komplexe Eigenwerte von einheitlichen Matrizen usw.) protestieren, während man Dinge diagonalisiert.

$\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}$Für$\mathrm{SO}(N)$, kann die adjungierte Darstellung als antisymmetrischer Teil des Tensorprodukts der Fundamentaldarstellung mit sich selbst angesehen werden.

Im Allgemeinen haben wir für eine solche antisymmetrische Darstellung die folgende Eigenschaft:

Eine Vertretung gegeben$(V,\rho)$, die Repräsentation$V\otimes V$zerfällt als$S^2 V \oplus \Lambda^2 V$Wo$S^2 V$sind die symmetrischen Tensoren und$\Lambda^2 V$sind die antisymmetrischen Tensoren, und wir haben

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{1}{2}(\chi_V(g)^2 - \chi_V(g^2))$$ Wo $\chi(g)$ist die Spur von $\rho(g)$in der entsprechenden Darstellung.

Daraus folgt direkt das

$$\chi_{\mathfrak{so}(N)}(g) = \frac{1}{2}(\chi_\text{fund}(g)^2 - \chi_\text{fund}(g^2))$$ was die gewünschte Beziehung für ergibt $g = \mathrm{e}^{\mathrm{i}F}$. Beweisen wir also die allgemeine Behauptung über die Spuren:

Lassen$v_1,\dots,v_n$Grundlage sein$V$. Dann,$a_{ij} := v_i \otimes v_j - v_j \otimes v_i$,$j > i$sind eine Basis der antisymmetrischen Tensoren$\Lambda^2 V$. Das Matrixelement der Darstellung$\sigma$von$g$An$\Lambda^2 V$in dieser Basis sind gegeben durch:

$$\sigma(g)_{kl,ij} = \rho(g)_{ki}\rho(g)_{lj} - \rho(g)_{kj}\rho(g)_{li}$$

seit$\sigma(g)a_{ij} = (\rho(g)v_i) \otimes (\rho(g)v_j) - (\rho(g)v_j) \otimes (\rho(g)v_i)$per Definition.

Daher,

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \tr(\sigma(g)) = \sum_{i < j} \sigma(g)_{ij,ij} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \sigma(g)_{ij,ij}$$

und Einsetzen der Matrixelemente ergibt

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{1}{2}\sum_i\sum_j ( \rho(g)_{ii}\rho(g)_{jj} - \rho(g)_{ij}\rho(g)_{ji}) = \frac{1}{2}(\chi_V(g)^2 - \chi_V(g^2))$$

das wollten wir zeigen.