Bilineare in adjungierter Darstellung

Question

Bilineare in adjungierter Darstellung

Physik
Spinoren
Gruppentheorie
Dirac-Gleichung
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen

CAF

Unten sind zwei Aussagen aus meinen Notizen und ich versuche sie explizit zu verifizieren. In beiden Fällen wird angenommen, dass sich die Felder unter der fundamentalen Darstellung von transformieren $O(N)$ -

--'Der kinetische Term für einen Dirac-Spinor ist unter der Symmetriegruppe unveränderlich $U(N) \otimes U(N)$ '.

Ich habe zuerst den Fall eines Weyl-Spinors betrachtet. Dies hat einen kinetischen Begriff $i \bar \phi_R \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \phi_R$ und wenn $\phi_R \rightarrow U \phi_R$ Dann $i \bar \phi_R \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \phi_R \rightarrow i\phi^{\dagger}_R U^{\dagger} \gamma_0 \gamma^{\mu} \partial_{\mu} U \phi$ . Weil $U$ und die gammamatrizen wirken auf unterschiedliche räume, kann ich die einfach verschieben $U$ zum $U^{\dagger}$ und dann verwenden $UU^{\dagger}=1$ das Ergebnis erhalten? Der $U(N) \otimes U(N)$ denn die Dirac-Spinoren entstehen durch die Zerlegung eines Dirac-Spinors in seine links- und rechtshändigen Komponenten, von denen sich jede in eine „linkshändige Grunddarstellung“ oder eine „rechtshändige Grunddarstellung“ umwandelt, so dass man die Symmetriegruppe so schreiben könnte $U_L(N) \otimes U_R(N)$ (korrigieren falls falsch).

--'Wenn $T_a$ sind die Generatoren von $O(N)$ , die Bilineare $\phi^T T^a \phi$ transformiere gemäß der adjungierten Darstellung.'

Ich frage mich nur, ob sich Generatoren immer selbst in die adjungierte Darstellung umwandeln? Ich habe hier in einem anderen Thread gelesen, dass die adjungierte Darstellung als die an der Identität verankerte Darstellung angesehen werden kann. Wenn also jemand etwas Licht in diese Aussage bringen könnte, wäre das großartig.

Antworten (2)

Bilineare in adjungierter Darstellung

Kosmas Zachos · Answer 1

Kosmas Zachos

Ja, der erste Teil Ihrer Frage wird geschätzt und fundiert beantwortet. Der kinetische Term der Fermionen teilt sich in zwei unabhängige Teile mit linken bzw. rechten Weyl-Spinoren auf, sodass jeder unter einem separaten U (N) unabhängig ist , wie Sie aufgeschrieben haben.

Die zweite Frage betrifft die Sprache. Ein Generator ist eine Matrix mit einem adjungierten Index, a hier, der sich über die Dimension der Lie-Algebra erstreckt, also "universal" gemäß Ihrer Frage; und zwei Indizes, die jeweils ihrer Darstellung entsprechen, z. B. i, j , die Matrixindizes, die sich über die Dimension dieser bestimmten Darstellung erstrecken. Es ist ein Operator der Darstellung, der auf Vektoren davon wirkt, wie z. B. Ihr φ . Wenn Ihr φ zum Beispiel in der Grundwelle liegt, wirkt T darauf als $\phi_i\mapsto T^a_{ij} \phi_j$ , alles im Wesentlichen. Wenn Sie dies mit einem anderen Vektor punktieren, ergibt φ einen Skalar im Grundton, Ihren Ausdruck, mit einem losen Index a des Adjoints, also einen Vektor im Adjoint. Immer im Adjoint, unabhängig davon, mit welchem irrep φ Sie begonnen haben, solange Sie die geeigneten Repräsentationsmatrizen für diesen Generator verwendet haben.

Um diesen Vektor unter O(N) zu drehen, müssen Sie ihn mit den Strukturkonstanten der Lie-Algebra behandeln, die die Operatoren T im Adjungierten sind, also analog $\phi^T T^a \phi\mapsto i f_{abc}~\phi^T T^c \phi$ . Zum Beispiel sind die Generatoren für O(3) die bekannten Vektorspinmatrizen $i\epsilon_{abc}$ S.

CAF

Danke für deine Antwort! Transformieren die Generatoren also immer unter den Strukturkonstanten? - dh transformieren Generatoren immer unter der adjungierten Darstellung? Ich habe die Gleichung gesehen

u^{†} T_{ich} u = R_{ich J} T_{J}

$u^{\dagger} T_i u = R_{ij} T_j$ Wo

u

$u$ ist ein Element einer Gruppe, die oft auftaucht.

Kosmas Zachos

Nun, wenn Sie es so sagen wollen: Das Label des Generators transformiert sich immer ins Adjungierte, durch die Strukturkonstanten. In der Beziehung, die Sie geschrieben haben, betrachten Sie in jeder Wiederholung eine Ähnlichkeitstransformation eines Generators, wobei die u s Exponentiale von Generatoren sind, exp(i a.T ). Die Wirkung dieser Exponentiale auf T ist tatsächlich adjungiert, also ist Ihr Ausdruck Tj -i[ aT ,Tj] + ... also dann nur eine Rotation der J- Indizes. Hier sind die j's adjungiert, und nur sie transformieren - die anderen beiden irrep-Indizes dienen nur in den Matrixmultiplikationen.

Kosmas Zachos

Sie haben die Indizes vertauscht und ich bin darauf hereingefallen, um sie maximal zu mehrdeutigen. In richtiger Notation, die Ihrer Frage und meiner Antwort entspricht, lautet meine obige Antwort:

u^{†} T_{a} u = e^{- i θ \cdot T} T_{a} e^{i θ \cdot T} = e^{- i a d θ \cdot T} T_{a} = T_{a} - i [θ \cdot T, T_{a}] + . . . = R_{a b}^{θ} T_{b}

$u^\dagger T_a u= e^{-i \theta\cdot T} T_a e^{i\theta\cdot T}= e^{-i{\mathrm ad} \theta\cdot T} T_a= T_a -i [\theta\cdot T, T_a]+...=R^\theta _{ab} T_b$ .

CAF

Danke! Meine letzte Frage ist, wann ich das Umwandlungsgesetz anwenden würde

T_{a}^{'} \to u^{†} T_{a} u

$T_a' \rightarrow u^{\dagger}T_a u$ für Generatoren? Wie zum Beispiel in

S U (2)

$SU(2)$ die Pauli-Matrizen, die die Fundamentaldarstellung umfassen, transformieren sich nicht.

Kosmas Zachos

Diese habe ich nicht verstanden: In der Gleichung direkt über Ihrer Frage, die für absolut alle Darstellungen gilt, tun halbierte Pauli-Matrizen genau das:

T_{a} = σ^{a} / 2

$T_a=\sigma^a/2$ , und unter Verwendung der expliziten Darstellung des Exponentials von ihnen finden Sie die genaue Rotationsformel für

σ^{a}

$\sigma^a$ .

Kosmas Zachos

Nehmen

σ_{2} / 2

$\sigma_2/2$ für

T_{a}

$T_a$ , Und

u = \exp (i θ σ_{1} / 2)

$u=\exp(i\theta \sigma_1 /2)$ . Sie finden leicht

σ_{2} \to \cos θ σ_{2} + \sin θ σ_{3}

$\sigma_2\to \cos\theta \sigma_2+ \sin\theta \sigma_3$ , nur die richtige Drehung des "Vektors" 2 um die Achse 1.

TLDR

Ein Fall, in dem Sie das Transformationsgesetz verwenden würden, ist das Konstruieren von Invarianten von

O (N)

$O(N)$ . In der Praxis können Sie Invarianten normalerweise durch Inspektion konstruieren, indem Sie einfach Indizes zusammenziehen, sodass sich verschiedene Matrixfaktoren aufheben. (Im Allgemeinen können Sie Invarianten erhalten, indem Sie einfach Funktionen über die Symmetriegruppe mitteln). Sie würden das Umwandlungsgesetz auch nutzen, wenn Sie das fördern wollten

O (N)

$O(N)$ globale Symmetrie zu einer lokalen Symmetrie.

CAF

@CosmasZachos: Ich verstehe, ich denke, was ich sagen wollte, ist die Transformation des Bilinearen

ϕ^{T} T_{a} ϕ

$\phi^T T_a \phi$ Ich sollte entweder die transformieren

T_{a}

$T_a$ oder der

ϕ

$\phi$ 's aber nicht beides gleichzeitig? Also könnte ich das entweder transformieren

T_{a}

$T_a$ 's nach der adjungierten Darstellung oder der

ϕ

$\phi$ 's nach der fundamentalen Darstellung? Und das Ergebnis wäre dasselbe? Grundsätzlich stammt die Frage aus dem, was ich in meinem anderen Thread hier gelesen habe: physical.stackexchange.com/questions/248974/…

Kosmas Zachos

Ja, das Ergebnis wäre dasselbe: Sandwich der obigen Gleichung durch φ s: Sie zu transformieren ist gleichbedeutend mit einer Drehung der T s. Für SU (2) gemäß dem WP-Artikel können Sie die exakte Drehung praktisch für alle Befehle explizit ausführen - keine Notwendigkeit, sich auf kleine Winkel zu beschränken.

TLDR · Answer 2

(I) Vorausgesetzt, es gibt sie $N$ unterschiedliche Fermionen in Ihrem Lagrangian (z. B. Quarks im Standardmodell), die den kinetischen Begriff haben $U(N)\times U(N)$ Symmetrie. Diese Symmetrie wird jedoch durch den Massenterm gebrochen, der Fermionen mit unterschiedlicher Händigkeit koppelt.

(II) Wenn $V$ ist die fundamentale Darstellung einer Lie-Gruppe (mit dualer/konjugierter Darstellung $V^*$ ), können Generatoren als Unterraum von identifiziert werden $V\otimes V^*$ . Wenn $g$ ist also ein Element der Lie-Gruppe $g$ 'wirkt auf' $V\otimes V^*$ folgendermaßen: $g\cdot (v\otimes \omega)=(U(g)v)\otimes (U(g)' \omega)=U(g)v\otimes \omega U(g^{-1})$ . (Oft ist es möglich, eine einheitliche Darstellung zu wählen, so dass $U(g^{-1})=U(g)^\dagger$ ).

[Beachten Sie, dass die Tensordarstellung $V\otimes V^*$ ist reduzierbar und enthält nur die adjungierte Darstellung als Unterdarstellung].

Nun stellt sich heraus, dass eine große Klasse von Lie-Gruppen lokal als Exponential eines Elements im Tangentialraum in der Nähe der Identität ausgedrückt werden kann: dh

U (G) = \exp (- ich A_{A} (G) τ^{A}),

$U(g)=\exp(-iA_a(g)\tau^a),$ Wo

A_{a} (g)

$A_a(g)$ sind einige

g

$g$ abhängige Koeffizienten (lokale Koordinaten für die Lie-Gruppe) und

τ^{a}

$\tau^a$ sind die Generatoren. Die Exponentialfunktion wird als Potenzreihe interpretiert, wenn sinnvoll (when

V

$V$ unendlich dimensional ist, wie in der Quantenmechanik, ist es typisch, das Spektrum von zu spezifizieren

A_{a} τ^{a}

$A_a\tau^a$ nach unten begrenzt ist, so dass eine analytische Fortsetzung verwendet werden kann).

Diese lokalen Koordinaten für die Lie-Gruppe implizieren, dass die oben definierte Gruppenaktion eine Aktion des Tangentialraums in der Nähe der Identität induziert (dh die der Gruppe zugeordnete Lie-Algebra): $\mathcal A \cdot v\otimes \omega=[\mathcal A, M_{v\otimes\omega}]$ , Wo $M_{v\otimes\omega}$ ist die zugeordnete 'Matrix' $v\otimes \omega$ .

(„Trivialer“ (im gesunden Sinn) Nachtrag: Der Grund für Terme höherer Ordnung in der Potenzreihenentwicklung von $U(g)$ keine alternativen adjungierten Darstellungen der Lie-Algebra angeben, ist im Wesentlichen eine Art „Erinnerungseffekt“, bei dem der lineare Term Komponenten höherer Ordnung stört).

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Wie beweist man (γμ)†=γ0γμγ0(γμ)†=γ0γμγ0(\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0?

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