Pendelt der Erzeugungs-/Vernichtungsoperator mit den Spinoren?

Ich studiere QFT im Selbststudium und bin an den Punkt gekommen, das Dirac-Feld zu quantisieren. Das in Bezug auf Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren erweiterte Dirac-Feld ist:

$$\psi(\vec{x})=\sum_{s=1}^{2}\int{\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\vec{p}}}}\left(b_{\vec{p}}^su^s(\vec{p})e^{i\vec{p}\vec{x}}+c_{\vec{p}}^{s\dagger}\upsilon^s(\vec{p})e^{-i\vec{p}\vec{x}}\right)}$$

Dann deuten die Notizen, die ich studiere, darauf hin, dass:

$$\psi^\dagger(\vec{x})=\sum_{s=1}^{2}\int{\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\vec{p}}}}\left(b_{\vec{p}}^{s\dagger}u^{s\dagger}(\vec{p})e^{-i\vec{p}\vec{x}}+c_{\vec{p}}^s\upsilon^{s\dagger}(\vec{p})e^{i\vec{p}\vec{x}}\right)}$$

Es sieht so aus, als ob der Erstellungs- / Vernichtungsoperator mit den Spinoren pendelt, so dass zum Beispiel

$$(b_{\vec{p}}^{s}u^{s}(\vec{p}))^{\dagger}=u^{s\dagger}(\vec{p})b_{\vec{p}}^{s\dagger}=b_{\vec{p}}^{s\dagger}u^{s\dagger}(\vec{p}).$$

Geschieht dies, weil die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf Zustände einwirken$|p\rangle$, und nicht auf Spinoren?