Eine allgemeinere Vollständigkeitsrelation für Dirac-Spinoren

Question

Eine allgemeinere Vollständigkeitsrelation für Dirac-Spinoren

Physik
Spinoren
Dirac-Gleichung
Dirac-Matrizen
Quantenfeldtheorie
Hausaufgaben und Übungen

SNC92

Nehmen Sie an, dass wir zwei 1/2-Spin-Teilchen mit vier Impulsen haben $p$ Und $p'$ . Teilchen-Dirac-Spinoren erfüllen die Vollständigkeitsrelation

\sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P) = P + M

$\sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p)=\not p+m$ Mein Ziel ist es nun, einen äquivalenten Ausdruck für zu finden

\sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'})

$\sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')$ Mein Versuch:

Wir haben

u_{S} (P) = \sqrt{E + M} (\begin{matrix} ϕ_{S} \\ \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P}}{E + M} ϕ_{S} \end{matrix}) Und {\bar{u}}_{S} (P^{'}) = \sqrt{E^{'} + M^{'}} (\begin{matrix} ϕ_{S}^{T} & - ϕ_{S}^{T} \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}}}{E^{'} + M^{'}} \end{matrix})

$u_s(p)=\sqrt{E+m} \begin{pmatrix} \phi_s \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p}}{E+m}\phi_{s} \\ \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \overline{u}_s(p')=\sqrt{E'+m'} \begin{pmatrix} \phi^T_s & -\phi^T_{s}\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p'}}{E'+m'} \\ \end{pmatrix}$ mit

ϕ_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) Und ϕ_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\phi_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \phi_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ Dann (und arbeiten in der Dirac-Pauli-Vertretung)

\begin{aligned} \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = \sqrt{(E + M) (E^{'} + M^{'})} \sum_{S = 1}^{2} (\begin{matrix} ϕ_{S} ϕ_{S}^{T} & - \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}}}{E^{'} + M^{'}} ϕ_{S} ϕ_{S}^{T} \\ \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P}}{E + M} ϕ_{S} ϕ_{S}^{T} & - \frac{(\vec{σ} \cdot \vec{P}) (\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}})}{(E + M) (E^{'} + M^{'})} ϕ_{S} ϕ_{S}^{T} \end{matrix}) \\ = \sqrt{(E + M) (E^{'} + M^{'})} (\begin{matrix} 1 & - \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}}}{E^{'} + M^{'}} \\ \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P}}{E + M} & - \frac{(\vec{σ} \cdot \vec{P}) (\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}})}{(E + M) (E^{'} + M^{'})} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')&=\sqrt{(E+m)(E'+m')}\sum_{s=1}^2 \begin{pmatrix} \phi_s\phi^T_s & -\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p'}}{E'+m'}\phi_s\phi^T_s \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p}}{E+m}\phi_s\phi^T_s & -\frac{(\vec{\sigma}\cdot\vec{p})(\vec{\sigma}\cdot\vec{p'})}{(E+m)(E'+m')}\phi_s\phi^T_s \\ \end{pmatrix} \\ &=\sqrt{(E+m)(E'+m')} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p'}}{E'+m'} \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p}}{E+m} & -\frac{(\vec{\sigma}\cdot\vec{p})(\vec{\sigma}\cdot\vec{p'})}{(E+m)(E'+m')} \\ \end{pmatrix} \\ \end{align}$ wo ich verwendet habe

\sum_{S = 1}^{2} ϕ_{S} ϕ_{S}^{T} = 1 : eine 2x2 Identitätsmatrix

$\sum_{s=1}^2\phi_s\phi^T_s=1\quad\text{: a 2x2 identity matrix}$ Hier bitte ich um Hilfe, da ich mir bei obigem Ausdruck nicht sicher bin, wie ich weiter vorgehen soll. Natürlich ist jeder andere Weg, eine Beziehung zu finden, willkommen.

JG

Seit

σ_{i} σ_{j} = δ_{i j} I_{2} + i ε_{i j k} σ_{k}

$\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I_2 + i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$ mit

I_{2}

$I_2$ Die

2 \times 2

$2\times 2$ Identitätsmatrix und implizite Summierung über

k

$k$ im zweiten Term haben wir (mit aller impliziten Summation)

(\vec{σ} \cdot \vec{p}) (\vec{σ} \cdot {\vec{p}}^{'}) = σ_{i} σ_{j} p_{i} p_{j}^{'} = \vec{p} \cdot {\vec{p}}^{'} I_{2} + \vec{σ} \cdot \vec{p} \times {\vec{p}}^{'}

$\left(\vec{\sigma}\cdot\vec{p}\right)\left(\vec{\sigma}\cdot\vec{p}'\right)=\sigma_i\sigma_jp_ip'_j=\vec{p}\cdot\vec{p}'I_2+\vec{\sigma}\cdot\vec{p}\times\vec{p}'$ .

Lewis Miller

Meine Antwort auf diese Frage physical.stackexchange.com/q/237908 kann hilfreich sein.

SNC92

@LewisMiller Ich breche die obige Matrix als lineare Kombination von

{1, γ^{μ}, γ^{5}, γ^{μ} γ^{5}, σ^{μ ν}}

$\{1,\gamma^\mu,\gamma^5,\gamma^\mu\gamma^5,\sigma^{\mu\nu}\}$ . Ich nehme nur diesen Ansatz für den Fall

p = p^{'}

$p=p'$ und es hat gut funktioniert. Danke schön.

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Eine allgemeinere Vollständigkeitsrelation für Dirac-Spinoren

Seit $\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I_2 + i\varepsilon_{ijk}\sigma_k$ mit $I_2$ Die $2\times 2$ Identitätsmatrix und implizite Summierung über $k$ im zweiten Term haben wir (mit aller impliziten Summation) $\left(\vec{\sigma}\cdot\vec{p}\right)\left(\vec{\sigma}\cdot\vec{p}'\right)=\sigma_i\sigma_jp_ip'_j=\vec{p}\cdot\vec{p}'I_2+\vec{\sigma}\cdot\vec{p}\times\vec{p}'$ .
Meine Antwort auf diese Frage physical.stackexchange.com/q/237908 kann hilfreich sein.
@LewisMiller Ich breche die obige Matrix als lineare Kombination von $\{1,\gamma^\mu,\gamma^5,\gamma^\mu\gamma^5,\sigma^{\mu\nu}\}$ . Ich nehme nur diesen Ansatz für den Fall $p=p'$ und es hat gut funktioniert. Danke schön.

SNC92 · Answer 1

Ok, also hier habe ich eine Antwort gefunden. Ich fange an, den letzten Ausdruck der Frage neu zu schreiben:

\begin{aligned} \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = \sqrt{(E + M) (E^{'} + M^{'})} (\begin{matrix} 1 & - \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}}}{E^{'} + M^{'}} \\ \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P}}{E + M} & - \frac{(\vec{σ} \cdot \vec{P}) (\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}})}{(E + M) (E^{'} + M^{'})} \end{matrix}) \\ \frac{1}{\sqrt{S S^{'}}} \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = Ω \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p') &= \sqrt{(E+m)(E'+m')} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p'}}{E'+m'} \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p}}{E+m} & -\frac{(\vec{\sigma}\cdot\vec{p})(\vec{\sigma}\cdot\vec{p'})}{(E+m)(E'+m')} \\ \end{pmatrix} \\ \frac{1}{\sqrt{ss'}}\sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p') &= \Omega \end{align}$ wo ich der Einfachheit halber definiert habe

S := E + M S^{'} := E^{'} + M^{'} Ω := (\begin{matrix} 1 & - \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}}}{S^{'}} \\ \frac{\vec{σ} \cdot \vec{P}}{S} & - \frac{(\vec{σ} \cdot \vec{P}) (\vec{σ} \cdot \vec{P^{'}})}{S S^{'}} \end{matrix})

$s:=E+m \quad\quad s':=E'+m' \quad\quad \Omega:= \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p'}}{s'} \\ \frac{\vec{\sigma}\cdot\vec{p}}{s} & -\frac{(\vec{\sigma}\cdot\vec{p})(\vec{\sigma}\cdot\vec{p'})}{ss'} \\ \end{pmatrix}$ Nun, das weiß ich

Ω \in M (4, C)

$\Omega\in M(4,\mathbb{C})$ und eine Basis für diesen linearen Raum ist durch die Menge gegeben

{1, γ^{μ}, γ^{5}, γ^{μ} γ^{5}}_{μ = 0}^{3} \cup {σ^{μ v}}_{μ, v = 0 (μ < v)}^{3}

$\{1,\gamma^\mu,\gamma^5,\gamma^\mu\gamma^5\}_{\mu=0}^3\cup\{\sigma^{\mu\nu}\}_{\mu,\nu=0\; (\mu<\nu)}^3$ (Wo

σ^{μ ν} := i / 2 [γ^{μ}, γ^{ν}]

$\sigma^{\mu\nu}:=i/2[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$ ) so dass

Ω

$\Omega$ kann geschrieben werden als

Ω = A + B_{μ} γ^{μ} + C γ^{5} + D_{μ} γ^{μ} γ^{5} + e_{μ v} σ^{μ v}

$\Omega=a+b_\mu\gamma^\mu+c\gamma^5+d_\mu\gamma^\mu\gamma^5+e_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu}$ und wo die Koeffizienten gegeben sind durch

$a=\frac{1}{4}tr(\Omega)$
$b_\mu=\frac{1}{4}tr(\Omega\gamma_\mu)$
$c=\frac{1}{4}tr(\Omega\gamma_5)$
$d_\mu=\frac{1}{4}tr(\Omega\gamma_5\gamma_\mu)$
$e_{\mu\nu}=\frac{1}{8}tr(\Omega\sigma_{\mu\nu})$

Damit folgt:

\begin{aligned} A & = \frac{1}{2} (1 - \frac{\vec{P} \cdot {\vec{P}}^{'}}{S S^{'}}) \\ B_{0} & = \frac{1}{2} (1 + \frac{\vec{P} \cdot {\vec{P}}^{'}}{S S^{'}}) \\ B_{J} & = - \frac{1}{2} (\frac{P_{J}}{S} + \frac{P_{J}^{'}}{S^{'}}) J = 1, 2, 3 \\ C & = 0 \\ D_{0} & = 0 \\ D_{J} & = \frac{ich}{2 S S^{'}} (\vec{P} \times {\vec{P}}^{'})_{J} J = 1, 2, 3 \\ e_{0 J} & = - \frac{ich}{4} (\frac{P_{J}}{S} - \frac{P_{J}^{'}}{S^{'}}) J = 1, 2, 3 \\ e_{J k} & = - \frac{ich ε_{J k l}}{4 S S^{'}} (\vec{P} \times {\vec{P}}^{'})_{l} J = 1, 2, 3 Und J < k \end{aligned}

$\begin{align} a&=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}'}{ss'}\right) \\ b_0&=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}'}{ss'}\right) \\ b_j&=-\frac{1}{2}\left(\frac{p_j}{s}+\frac{p'_j}{s'}\right)\quad j=1,2,3 \\ c&=0 \\ d_0&=0 \\ d_j&=\frac{i}{2ss'}(\vec{p}\times\vec{p}')_j\quad j=1,2,3 \\ e_{0j}&=-\frac{i}{4}\left(\frac{p_j}{s}-\frac{p'_j}{s'}\right)\quad j=1,2,3 \\ e_{jk}&=-\frac{i\varepsilon_{jkl}}{4ss'}(\vec{p}\times\vec{p}')_l\quad j=1,2,3\;\;\text{and}\;\; j<k \end{align}$ Deshalb,

\frac{2}{\sqrt{S S^{'}}} \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) = 1 - \frac{\vec{P} \cdot {\vec{P}}^{'}}{S S^{'}} + (1 + \frac{\vec{P} \cdot {\vec{P}}^{'}}{S S^{'}}) γ^{0} - (\frac{P_{J}}{S} + \frac{P_{J}^{'}}{S^{'}}) γ^{J} + \frac{ich}{S S^{'}} (\vec{P} \times {\vec{P}}^{'})_{J} γ^{J} γ^{5} - \frac{ich}{2} (\frac{P_{J}}{S} - \frac{P_{J}^{'}}{S^{'}}) σ^{0 J} - \frac{ich ε_{J k l}}{2 S S^{'}} (\vec{P} \times {\vec{P}}^{'})_{l} σ^{J l}

$\frac{2}{\sqrt{ss'}}\sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')=1-\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}'}{ss'}+\left(1+\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}'}{ss'}\right)\gamma^0-\left(\frac{p_j}{s}+\frac{p'_j}{s'}\right)\gamma^j+\frac{i}{ss'}(\vec{p}\times\vec{p}')_j\gamma^j\gamma^5-\frac{i}{2}\left(\frac{p_j}{s}-\frac{p'_j}{s'}\right)\sigma^{0j}-\frac{i\varepsilon_{jkl}}{2ss'}(\vec{p}\times\vec{p}')_l\sigma^{jl}$ oder unter Verwendung der folgenden Identitäten:

σ^{0 J} = ich γ^{0} γ^{J} ε_{J k l} ε^{J k N} = 2 δ_{l}^{N} σ^{J k} = (\begin{matrix} ε^{J k N} σ_{N} & 0 \\ 0 & ε^{J k N} σ_{N} \end{matrix}) = ε^{J k N} σ_{N} {ICH}_{4}

$\sigma^{0j}=i\gamma^0\gamma^j\quad\quad \varepsilon_{jkl}\varepsilon^{jkn}=2\delta_l^n \quad\quad\sigma^{jk}=\begin{pmatrix} \varepsilon^{jkn}\sigma_n & 0 \\ 0 & \varepsilon^{jkn}\sigma_n \\ \end{pmatrix} =\varepsilon^{jkn}\sigma_nI_4$ Dann

\frac{2}{\sqrt{S S^{'}}} \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) = 1 - \frac{\vec{P} \cdot {\vec{P}}^{'}}{S S^{'}} + (1 + \frac{\vec{P} \cdot {\vec{P}}^{'}}{S S^{'}}) γ^{0} - (\frac{P_{J}}{S} + \frac{P_{J}^{'}}{S^{'}}) γ^{J} + \frac{ich}{S S^{'}} (\vec{P} \times {\vec{P}}^{'})_{J} γ^{J} γ^{5} + \frac{1}{2} (\frac{P_{J}}{S} - \frac{P_{J}^{'}}{S^{'}}) γ^{0} γ^{J} - \frac{ich}{S S^{'}} (\vec{P} \times {\vec{P}}^{'}) \cdot \vec{σ} {ICH}_{4}

$\frac{2}{\sqrt{ss'}}\sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')=1-\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}'}{ss'}+\left(1+\frac{\vec{p}\cdot\vec{p}'}{ss'}\right)\gamma^0-\left(\frac{p_j}{s}+\frac{p'_j}{s'}\right)\gamma^j+\frac{i}{ss'}(\vec{p}\times\vec{p}')_j\gamma^j\gamma^5+\frac{1}{2}\left(\frac{p_j}{s}-\frac{p'_j}{s'}\right)\gamma^0\gamma^j-\frac{i}{ss'}(\vec{p}\times\vec{p}')\cdot\vec{\sigma}I_4$ Nehmen wir nun im Einzelfall an, dass beide Spinoren demselben 1/2-Spin-Teilchen entsprechen, dann

p = p^{'}

$p=p'$ ,

s s^{'} = (E + m)^{2}

$ss'=(E+m)^2$ ,

\vec{p} \cdot {\vec{p}}^{'} = E^{2} - m^{2}

$\vec{p}\cdot\vec{p}'=E^2-m^2$ Und

\vec{p} \times {\vec{p}}^{'} = 0

$\vec{p}\times\vec{p}'=0$ und der obige Ausdruck reduziert sich auf

\begin{aligned} \frac{2}{E + M} \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = 1 - \frac{E^{2} - M^{2}}{(E + M)^{2}} + (1 + \frac{E^{2} - M^{2}}{(E + M)^{2}}) γ^{0} - \frac{2}{E + M} P_{J} γ^{J} \\ 2 \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = (E + M) - (E - M) + (E + M + E - M) γ^{0} - 2 P_{J} γ^{J} \\ \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = M + E γ^{0} - P_{J} γ^{J} Aber P_{μ} = (P_{0}, - \vec{P}) = (E, - P_{X}, - P_{j}, - P_{z}) \\ \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = M + P_{μ} γ^{μ} \\ \sum_{S = 1}^{2} u_{S} (P) {\bar{u}}_{S} (P^{'}) & = P + M \end{aligned}

$\begin{align} \frac{2}{E+m}\sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')&=1-\frac{E^2-m^2}{(E+m)^2}+\left(1+\frac{E^2-m^2}{(E+m)^2}\right)\gamma^0-\frac{2}{E+m}p_j\gamma^j \\ 2\sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')&=(E+m)-(E-m)+(E+m+E-m)\gamma^0-2p_j\gamma^j \\ \sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')&=m+E\gamma^0-p_j\gamma^j\quad\quad\text{but}\quad p_\mu=(p_0,-\vec{p})=(E,-p_x,-p_y,-p_z) \\ \sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')&=m+p_\mu\gamma^\mu \\ \sum_{s=1}^2u_s(p)\overline{u}_s(p')&=\not p+m \end{align}$

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