Normalisierung von Dirac-Bispinoren

Lassen u λ ( k → ) Und v λ ( k → ) Lösungen der folgenden Gleichungen sein

( k̸ − M ) u λ ( k → ) = 0
( k̸ + M ) v λ ( k → ) = 0
Nehme an, dass u λ ( k → ) † u σ ( k → ) = ω ( k → ) M δ λ σ Und v λ ( k → ) † v σ ( k → ) = ω ( k → ) M δ λ σ , Wo ω ( k → ) = M 2 + k → 2 . Ich versuche zu zeigen, dass es das impliziert
u ¯ λ ( k → ) u σ ( k → ) = δ λ σ v ¯ λ ( k → ) v σ ( k → ) = − δ λ σ .

Meine Frage ist: Wie geht das, ohne eine spezielle Darstellung von Dirac-Matrizen zu nehmen und ohne es in einem speziellen Referenzrahmen (dh Ruherahmen) zu tun? Außerdem nehme ich für diese Bispinoren kein Transformationsgesetz an (also nehme ich wirklich nicht an, dass sie Bispinoren im eigentlichen Sinne sind). Das einzige, was ich vermute, ist, dass Dirac-Gleichungen für u Und v erfüllt sind und wir Antikommutierungsregeln für kennen γ -Matrizen und wir haben oben die Normalisierung für angegeben u † u .

Antworten (1)

Hinweis: Sie wollen rechnen

(1) u ¯ S ( P ) γ μ u S ' ( P ) =   ?

Da es sich um ein kovariantes Objekt handelt, kann der Vektorindex in der rechten Seite nur von bereitgestellt werden P μ , und deshalb

(2) u ¯ S ( P ) γ μ u S ' ( P ) = A S S ' P μ
(warum ist A unabhängig von P ?)

Finden A S S ' , kontrahieren beide Seiten dieses Ausdrucks mit P μ , und verwende die Gleichung P u = M u .

Nun lass μ = 0 .

Ok, lass uns noch ein paar Details hinzufügen:

Wenn Sie beide Seiten zusammenziehen ( 2 ) mit P μ , du erhältst

M u ¯ S ( P ) u S ' ( P ) = A S S ' M 2
Andererseits, wenn man es zulässt μ = 0 In ( 2 ) , du erhältst
u S † ( P ) u S ' ( P ) = ω P A S S '
Aus diesen beiden Gleichungen solltest du lösen können u ¯ S ( P ) u S ' ( P ) .

Sollte nicht sein u † anstatt u ¯ ?
@mikis nein, du bekommst u † wenn du lässt μ = 0 (Weil u ¯ γ 0 = u † )
OK. Ich habe noch eine Frage: Sie haben die Tatsache verwendet u ¯ γ μ u ist ein kovariantes Objekt. Wie man es nur mit diesem Wissen sieht u gegebene Dirac-Gleichung erfüllen ? Ich denke, dazu brauchen wir ein Transformationsgesetz für Bispinoren.
@mikis Die Dirac-Gleichung ist kovariant, und daher auch ihre Lösungen (z. B. die klassische Wellengleichung ( ∂ T 2 − ∇ 2 ) j ( X ) = 0 hat Lösungen j = exp ⁡ ( ω T − k → ⋅ X → ) , die kovariant sind, wie Sie bereits wissen).
Der u Bispinoren sind per Definition kovariant. Das hat nichts damit zu tun, dass sie die Dirac-Gleichung erfüllen. Wir hätten für sie andere Phasen und Normalisierungen wählen können, und alle kovarianten Transformationseigenschaften wären nicht mehr wahr. Der Punkt ist, dass u ( P → ) wird als angemessene Erhöhung von DEFINIERT u ( 0 ) .
@Blazej das ist eine gültige Definition von u , aber nicht der einzige. Die meisten einführenden Lehrbücher definieren die u , v Spinoren als Basis im Raum der Spinoren, wo die u erfüllen P u = M u und das v ist zufrieden P v = − M v . Weitere Einschränkungen, wie z S z u ( 0 ) = ± 1 / 2 genügen, diese Objekte eindeutig zu spezifizieren, aber um die Dirac-Gleichung zu lösen, ist jede Basis so gut wie jede andere (Ihre Definition ist nützlich, wenn man den Teilcheninhalt der Theorie studieren will, aber unnötig, wenn man nur die Dirac-Gleichung lösen will , als klassische Wellengleichung). (Unnötig zu erwähnen, dass Ihre Def. besser ist).
Wir müssen also davon ausgehen, dass unsere u 's werden kovariant gewählt? Wie auch immer, wenn nicht für u vielleicht ist es möglich, irgendwie Kovarianz von zu erhalten u ¯ γ μ u nur aus der Dirac-Gleichung (ohne diese zusätzliche Annahme von u ( P ) ein Schub von sein u ( 0 ) )? Das ist der Hauptpunkt meiner Frage: Reicht die Dirac-Gleichung dafür aus?
"Arsch finden" ( ͡° ͜ʖ ͡°)
Ich stimme zu, dass die u's im Wesentlichen eindeutig angegeben werden, wenn Sie genügend bilineare Kovarianten angeben. Aber nicht vollständig, weil die Phase mehrdeutig ist (sie wirkt sich nicht auf die Werte bilinearer Kovarianten aus). Es wird jedoch angezeigt, wenn Sie Bispinoren betrachten, die lineare Kombinationen (Interferenzterme) sind.
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