Die kanonischen Antikommutierungsbeziehungen für Dirac-Spinoren verstehen

Question

Die kanonischen Antikommutierungsbeziehungen für Dirac-Spinoren verstehen

Physik
Spinoren
Quantisierung
Antikommutator
Dirac-Gleichung
Quantenfeldtheorie

Danu

Bei der skalaren QFT erlegt man dem Feld und dem kanonischen Impuls typischerweise die berühmten „kanonischen Kommutierungsbeziehungen“ auf:

[ϕ (\vec{X}), π (\vec{j})] = ich δ^{3} (\vec{X} - \vec{j})

$[\phi(\vec x),\pi(\vec y)]=i\delta^3 (\vec x-\vec y)$ zu gleichen Zeiten (

x^{0} = y^{0}

$x^0=y^0$ ). Es ist leicht (wenn auch mühsam) zu überprüfen, ob dies eine Kommutierungsbeziehung für die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren impliziert

[A (\vec{k}), A^{†} ({\vec{k}}^{'})] = (2 π)^{3} 2 ω δ^{3} (\vec{k} - {\vec{k}}^{'})

$[a(\vec k),a^\dagger(\vec k')]=(2\pi)^32\omega\delta^3(\vec k-\vec k')$

Bei der Betrachtung des Dirac-(Spinor-)Feldes ist es üblich (siehe zB Seite 107 der Notizen von Tong oder des Buches von Peskin & Schroeder), analog vorzugehen (natürlich Kommutatoren durch Antikommutatoren zu ersetzen). Wir postulieren

{Ψ (\vec{X}), Ψ^{†} (\vec{j})} = ich δ^{3} (\vec{X} - \vec{j})

$\begin{equation} \{\Psi(\vec x),\Psi^\dagger(\vec y)\}=i\delta^3(\vec x -\vec y) \end{equation}$ und leiten daraus die üblichen Beziehungen für die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren ab.

Ich hatte das immer akzeptiert und den Berechnungen in den oben genannten Quellen geglaubt, aber plötzlich zweifele ich: Machen diese Beziehungen überhaupt Sinn für das Dirac-Feld? Seit $\Psi$ ein 4-Komponenten-Spinor ist, verstehe ich nicht wirklich, wie man aus der obigen Gleichung einen Sinn machen kann: Ist nicht $\Psi\Psi^\dagger$ A $4\times 4$ Matrix, während $\Psi^\dagger\Psi$ ist eine Zahl?! Müssen wir (Spinor-)Komponente für Komponente berechnen? Wenn dies der Fall ist, sehe ich einige Schwierigkeiten (in den üblichen Berechnungen benötigt man eine Identität, die davon abhängt, dass die 4-Spinoren tatsächlich 4-Spinoren sind). Werden diese irgendwie vermieden? Eine ausführliche Erklärung wäre sehr willkommen.

Als Nachtrag bedenke folgendes: Üblicherweise stößt man bei der Berechnung auf solche Begriffe:

u^{†} \dots A A^{†} \dots u - u \dots A^{†} A \dots u^{†}

$u^\dagger \dots a a^\dagger\dots u- u\dots a^\dagger a \dots u^\dagger$ Auch wenn man akzeptiert, dass eine Gleichung gefällt

{Ψ, Ψ^{†}}

$\{\Psi,\Psi^\dagger\}$ macht Sinn, die meisten Quellen ziehen das einfach 'heraus

u, u^{†}

$u,\ u^\dagger$ aus den Kommutatoren heraus, um (Anti-)Kommutatoren nur der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren zu erhalten. Wie wird das begründet?

EDIT : Ich habe gerade festgestellt, dass die richtige Kommutierungsbeziehung vielleicht ersetzt $\Psi^\dagger$ mit $\bar \Psi$ (Dies kann jedes Problem umgehen, das bei einer komponentenweisen Berechnung auftritt). Bitte zögern Sie nicht, beides in einer Antwort zu verwenden.

glS

Ich bin mir nicht sicher, ob ich deinen Punkt verstanden habe. Im Fall von Dirac-Spinoren arbeiten die Antikommutierungsregeln nach Komponenten (siehe zum Beispiel Peskin & Schroeder S.58):

{ψ_{a} (X), ψ_{β}^{†} (j)} = δ_{a β} δ^{3} (X - j)

$\{ \psi_\alpha(\textbf{x}),\psi_\beta^\dagger(\textbf{y}) \} = \delta_{\alpha \beta} \delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})$ Sie haben also eine 4x4-Matrix auf RHS. War das Ihre Frage?

Danu

@glance Die Berechnungen sind komponentenweise? Dies ist für mich nicht offensichtlich (die 'Standardquellen' zeigen diese Indizes sicherlich nicht explizit an), obwohl ich es bereits als Möglichkeit erwähnt habe. Wenn Sie die Berechnung auf diese Weise durchführen können (um einige möglicherweise geringfügige Probleme zu vermeiden, die ich vorhersehe) und sie als Antwort posten können, würde ich sie gerne akzeptieren!

JoshPhysik

Siehe Peskin und Schroeder Gl. 3.86 zur Verifizierung, dass die Beziehung komponentenweise ist.

Danu

@joshphysics verdammt , ich habe mir 3,89 angesehen und keine Komponenten gesehen und bin ausgeflippt. Ich denke damit ist es erledigt...

David z

Jemand sollte das als Antwort posten! (FWIW Ich bin aus Tongs Notizen zu demselben Schluss gekommen)

glS

@Danu natürlich, aber auf welche Berechnung beziehst du dich genau? Die Ableitung der Vertauschungsregeln für die Erzeuger/Operatoren aus den kanonischen Vertauschungsregeln (Ihre erste Gleichung) oder den zeitgleichen (Anti-)Vertauschungsrelationen (Ihre zweite)? Außerdem glaube ich, dass die Referenz in P & S 3,102 ist, bei 3,89 zeigen sie, dass die Kommutatoren nicht für Dirac-Spinoren funktionieren (zumindest in meiner Ausgabe).

JoshPhysik

@glance Ich denke, Sie sollten die Ehre erhalten und nur einen Verweis auf P & K einfügen, um Ihren Kommentar zu untermauern. Einverstanden, dass 3,89 unangemessen ist.

Danu

@glance Das Ableiten des CCR für die Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren des Dirac-Felds wäre mehr als zufriedenstellend.

Danu

@joshphysics Natürlich ist 3,89 nicht die Berechnung für

{\cdot, \cdot}

$\{\cdot,\cdot\}$ aber es ist die einzige explizite Berechnung, deshalb habe ich dort gesucht ;)

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/17893/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (1)

Die kanonischen Antikommutierungsbeziehungen für Dirac-Spinoren verstehen

Ich bin mir nicht sicher, ob ich deinen Punkt verstanden habe. Im Fall von Dirac-Spinoren arbeiten die Antikommutierungsregeln nach Komponenten (siehe zum Beispiel Peskin & Schroeder S.58): ${ψ_{a} (X), ψ_{β}^{†} (j)} = δ_{a β} δ^{3} (X - j)$ $\{ \psi_\alpha(\textbf{x}),\psi_\beta^\dagger(\textbf{y}) \} = \delta_{\alpha \beta} \delta^3(\textbf{x}-\textbf{y})$ Sie haben also eine 4x4-Matrix auf RHS. War das Ihre Frage?
@glance Die Berechnungen sind komponentenweise? Dies ist für mich nicht offensichtlich (die 'Standardquellen' zeigen diese Indizes sicherlich nicht explizit an), obwohl ich es bereits als Möglichkeit erwähnt habe. Wenn Sie die Berechnung auf diese Weise durchführen können (um einige möglicherweise geringfügige Probleme zu vermeiden, die ich vorhersehe) und sie als Antwort posten können, würde ich sie gerne akzeptieren!
Siehe Peskin und Schroeder Gl. 3.86 zur Verifizierung, dass die Beziehung komponentenweise ist.
@joshphysics verdammt , ich habe mir 3,89 angesehen und keine Komponenten gesehen und bin ausgeflippt. Ich denke damit ist es erledigt...
Jemand sollte das als Antwort posten! (FWIW Ich bin aus Tongs Notizen zu demselben Schluss gekommen)
@Danu natürlich, aber auf welche Berechnung beziehst du dich genau? Die Ableitung der Vertauschungsregeln für die Erzeuger/Operatoren aus den kanonischen Vertauschungsregeln (Ihre erste Gleichung) oder den zeitgleichen (Anti-)Vertauschungsrelationen (Ihre zweite)? Außerdem glaube ich, dass die Referenz in P & S 3,102 ist, bei 3,89 zeigen sie, dass die Kommutatoren nicht für Dirac-Spinoren funktionieren (zumindest in meiner Ausgabe).
@glance Ich denke, Sie sollten die Ehre erhalten und nur einen Verweis auf P & K einfügen, um Ihren Kommentar zu untermauern. Einverstanden, dass 3,89 unangemessen ist.
@glance Das Ableiten des CCR für die Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren des Dirac-Felds wäre mehr als zufriedenstellend.
@joshphysics Natürlich ist 3,89 nicht die Berechnung für $\{\cdot,\cdot\}$ aber es ist die einzige explizite Berechnung, deshalb habe ich dort gesucht ;)
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/17893/2451 und darin enthaltene Links.

glS · Answer 1

Üblicherweise geht man von der CCR für die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren aus und leitet daraus die Kommutierungsregeln für die Felder ab. Man kann jedoch von beidem ausgehen (siehe dazu z. B. hier ). Angenommen, wir wollen von den zeitgleichen Antikommutierungsregeln für ein Dirac-Feld ausgehen $\psi_\alpha(x)$ :

\begin{matrix} (1) & {ψ_{a} (X), ψ_{β}^{†} (j)} = δ_{a β} δ^{3} (X - j), \end{matrix}

$\tag{1} \{ \psi_\alpha(\textbf{x}), \psi_\beta^\dagger(\textbf{y}) \} = \delta_{\alpha \beta} \delta^3(\textbf{x}-\textbf{y}),$ Wo

ψ_{α} (x)

$\psi_\alpha(x)$ hat eine Erweiterung der Form

\begin{matrix} (2) & ψ_{a} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3} 2 E_{P}} \sum_{S} {C_{S} (P) [u_{S} (P)]_{a} e^{- ich P X} + D_{S}^{†} (P) [v_{S} (P)]_{a} e^{ich P X}} \end{matrix}

$\tag{2} \psi_\alpha(x) = \int \frac{d^3 p} {(2\pi)^3 2E_\textbf{p}} \sum_s\left\{ c_s(p) [u_s(p)]_\alpha e^{-ipx} + d_s^\dagger(p) [v_s(p)]_\alpha e^{ipx} \right\}$ oder kürzer

ψ (X) = \int D \tilde{P} (C_{P} u_{P} e^{- ich P X} + D_{P}^{†} v_{P} e^{ich P X}),

$\psi(x) = \int d\tilde{p} \left( c_p u_p e^{-ipx} + d_p^\dagger v_p e^{ipx} \right),$

und wir wollen die CCR für die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren ableiten :

\begin{matrix} (3) & {A_{S} (P), A_{S^{'}}^{†} (Q)} = (2 π)^{3} (2 E_{P}) δ_{S S^{'}} δ^{3} (P - Q) . \end{matrix}

$\tag{3} \{ a_s(p), a_{s'}^\dagger(q) \} = (2\pi)^3 (2 E_p) \delta_{s s'}\delta^3(\textbf{p}-\textbf{q}).$ Dazu wollen wir uns äußern

a_{s} (p)

$a_s(p)$ bezüglich

ψ (x)

$\psi(x)$ . Wir haben:

\begin{matrix} (4) & A_{S} (k) = ich {\bar{u}}_{S} (k) \int D^{3} X [e^{ich k X} \partial_{0} ψ (X) - ψ (X) \partial_{0} e^{ich k X}] = ich {\bar{u}}_{S} (k) \int D^{3} X e^{ich k X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ψ (X) \end{matrix}

$\tag{4} a_s(\textbf{k}) = i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \left[ e^{ikx} \partial_0 \psi(x) - \psi(x) \partial_0 e^{ikx} \right]\\ = i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \,\, e^{ikx} \overset{\leftrightarrow}{\partial_0} \psi(x)$

\begin{matrix} (5) & A_{S}^{†} (k) = - ich {\bar{u}}_{S} (k) \int D^{3} X [e^{- ich k X} \partial_{0} ψ (X) - ψ (X) \partial_{0} e^{- ich k X}] = - ich {\bar{u}}_{S} (k) \int D^{3} X e^{- ich k X} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ψ (X) \end{matrix}

$\tag{5} a_s^\dagger (\textbf{k}) = -i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \left[ e^{-ikx} \partial_0 \psi(x) - \psi(x) \partial_0 e^{-ikx} \right] \\ =-i \bar{u}_s(\textbf{k}) \int d^3 x \,\, e^{-ikx} \overset{\leftrightarrow}{\partial_0} \psi(x)$ was Sie überprüfen können, indem Sie die Erweiterung (2) in (4) und (5) ziehen . Beachten Sie, dass diese für alle gelten

x_{0}

$x_0$ auf der RHS.

Jetzt müssen Sie nur noch diese Ausdrücke in den Antikommutator auf der linken Seite von (3) einfügen und (1) verwenden (ich kann diese Berechnung ein wenig erweitern, wenn Sie sie brauchen).

Die meisten Quellen ziehen einfach die $u, u^\dagger$ aus den Kommutatoren heraus, um (Anti-)Kommutatoren nur der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren zu erhalten. Wie wird das begründet?

Es gibt einen großen Unterschied zwischen einem Polarisationsspinor $u$ und einen Erstellungs-/Zerstörungsoperator $c,c^\dagger$ .

Für feste Polarisation $s$ und Schwung $\textbf{p}$ , $u_s(\textbf{p})$ ist ein Vierkomponenten-Spinor, was bedeutet, dass $u_s(\textbf{p})_\alpha \in \mathbb{C}$ für jede $\alpha=1,2,3,4$ . Umgekehrt für feste Polarisation $s$ und Schwung $\textbf{p}$ , $c_s(\textbf{p})$ ist ein Operator im Fockraum . Nicht nur eine Zahl, die sinnvoll über (Anti-)Kommutatoren nachdenken lässt.

Mit "Doppelpfeil" meinst du $\Longleftrightarrow$ oder zwei rechte Pfeile übereinander?
Ich meine den Pfeil, der auf beide Seiten zeigt. Das Symbol, das verwendet wird, um eine Ableitung rechts minus eine Ableitung links anzuzeigen: in $a \bar{\partial}_\mu b \equiv a \partial_\mu b - (\partial_\mu a) b$ das Symbol, das normalerweise anstelle des Balkens verwendet würde $\bar{\partial}$
\overset{\leftrightarrow}{\partial} $\overset{\leftrightarrow}{\partial}$
Ein einzeiliger Pfeil, der in beide Richtungen zeigt, ist \leftrightarrow: $\leftrightarrow$ . Sie können das überschreiben, indem Sie Folgendes verwenden \overset{up}{down}: $\overset{\leftrightarrow}{\partial_\mu}$ .

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