Wie funktioniert die kanonische Quantisierung mit Grassmann-Variablen?

Jedes Lehrbuch der Quantenfeldtheorie, das mir begegnet ist, scheint die gleiche logische Übersicht zu haben, aufgrund der besonderen Reihenfolge, in der sie Themen behandeln.

Zuerst stellen die Bücher den Dirac Lagrangian vor,

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i \not\partial - m) \psi.$$ Um den kanonischen Impuls zu berechnen, bemerken wir das $$\mathcal{L} \supset \psi^\dagger \gamma^0 (i \partial_0 \gamma^0 \psi) = i \psi^\dagger \dot{\psi}$$ in meist negativer Signatur. Daher ist das kanonische Momentum $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = i \psi^\dagger.$$ Man geht dann weiter, um eine kanonische Quantisierung durchzuführen.

Später führen die Bücher den Majorana-Lagrangian ein, der bei Peskin und Schroeder (Problem 3.4) die Form hat

$$\mathcal{L} = \chi^\dagger i \bar{\sigma} \cdot \partial \chi + \frac{im}{2} (\chi^T \sigma^2 \chi - \chi^\dagger \sigma^2 \chi^*).$$ Der Majorana-Massenbegriff verschwindet auf klassischer Ebene, weil$\sigma^2$ist eine antisymmetrische Matrix. Der einzige Ausweg besteht darin, den Zweikomponenten-Spinor zu postulieren$\chi$tatsächlich eine Grassmann-Variable ist, so dass die beiden Terme im Massenterm nach der Antikommutierung das gleiche Vorzeichen haben. Es wird normalerweise gesagt, dass im Allgemeinen jeder Spinor in einem klassischen Lagrange eine Grassmann-Zahl sein muss.

Dies widerspricht jedoch der früheren Behandlung des Dirac-Lagrangians. Wenn wir behandeln$\psi$als Grassmann-Zahl, dann nehmen wir ein Zeichen auf, wenn wir die Grassmann-Ableitung antikommutieren, so

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} (i \psi^\dagger \dot{\psi}) = - i \psi^\dagger \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} \dot{\psi} = - i \psi^\dagger.$$ Dieses zusätzliche negative Vorzeichen verändert das Ergebnis der kanonischen Quantisierung vollständig, dh es führt zu einer desaströsen negativen definiten Energie. Das gleiche Problem scheint in Problem 3.4 von Peskin aufzutreten. Berücksichtigt man bei der kanonischen Quantisierung den Grassmann-Vorzeichenwechsel richtig, so gelangt man zu Antikommutierungsbeziehungen, die den im Problem angegebenen entgegengesetzt sind.

Ich habe einen Stapel von Lehrbüchern zur Quantenfeldtheorie durchsucht, und frustrierenderweise erwähnt keines von ihnen diese offensichtliche Inkonsistenz, weil sie alle die Majorana-Lagrange-Zahl (und die Grassmann-Zahlen) abdecken, nachdem sie die Dirac-Lagrange-Zahl beendet haben, also gibt es keine Gelegenheit, dass dieses Problem auftaucht. Man könnte dieses Problem vermeiden, indem man sagt, dass Grassmann-Zahlen nur im Pfadintegral erscheinen, aber dann wird es unmöglich, die Majorana-Theorie kanonisch zu quantifizieren, weil der Massenterm verschwindet, was noch schlimmer erscheint. Was ist denn hier los?