Behandeln der Spinoren als Grassmann-Zahlen oder als C-Zahlen-Objekte

Lorentz-Spinoren erscheinen als irreduzible Darstellungen der Gruppe SL(2,C). Elemente der Gruppe sind 2x2-Matrizen mit komplexen Einträgen und Einheitsdeterminante. Ein Lorentz-Spinor ist ein zweikomponentiger Vektor$\psi^{A},\chi^{A}\in V_{2}$mit$A=1,2$. Der Levi-Civita-Tensor$\epsilon_{AB}$ist ein invarianter Tensor unter SL(2,C). Das heißt, wenn wir einen irrep$\psi^{A}$von SL(2,C) können wir ihn mit dem Levi-Civita-Tensor umwandeln, und dies ergibt ein äquivalentes Irrep. Also die kovarianten Vektoren$\psi_{A}\in \tilde{V}_{2}$gemacht als$\psi_{A}=\psi^{B}\epsilon_{BA}$sind äquivalent zu den kontravarianten Vektoren$\psi^{A}$; es spielt keine Rolle, ob wir verwenden$\psi^{A}$oder$\psi_{A}$weil beide Größen dasselbe physikalische Ding darstellen.

Die Situation ist die gleiche wie in der Minkowski-Raumzeit, wenn wir sie verwenden$x^{\mu}$oder$x_{\mu}=\eta_{\mu\lambda}x^{\lambda}$. Kovariante und kontravariante Vektoren in der Minkowski-Raumzeit sind äquivalente Irreps der Lorentz-Gruppe$O(1,3)$weil die Metrik$\eta_{\mu\lambda}$ist ein invarianter Tensor.

Das einzige Problem bei der Verwendung des Levi-Civita-Tensors zur Senkung eines Spinorindex besteht darin, dass er antisymmetrisch ist, sodass es darauf ankommt, welcher Index summiert wird. Ich habe mich entschieden, die Spinor-Indizes als zu senken$\psi_{A}=\psi^{B}\epsilon_{BA}$Aus Gründen der Konsistenz muss ich mich daher an diese Konvention halten und darf nicht in Versuchung geraten, sie zu verwenden$\psi_{A}=\epsilon_{AB}\psi^{B}$.

Nachdem ich eine Herabsetzungskonvention gewählt habe, bin ich gezwungen, einen Spinor-Index mit zu erhöhen$\psi^{A}=\epsilon^{AB}\psi_{B}$denn dann sind beide Operationen konsistent.

Jetzt können wir einen SL(2,C)-Skalar erstellen$\psi_{A}\chi^{A}=\chi^{A}\psi_{A}$. Die Reihenfolge der Vektoren spielt wegen der Komponenten keine Rolle$\psi^{1},\psi^{2}$sind nur komplexe Zahlen. Das folgende Stück Index-Gymnastik stellt die Eigenschaft in der zweiten Gleichung in Solitons Frage wieder her.

Bisher war alles klassisch. Wenn wir zur Quantentheorie übergehen, werden die Spinoren zu Operatoren befördert$\psi^{A}\rightarrow \hat{\psi}^{A}$. Diese Operatoren stellen Fermionen dar: Als Operatoren müssen sie in diesem Fall Antikommutierungsbeziehungen befolgen$[\hat{\psi}^{A},\hat{\chi}^{B}]_{+}=0$. Wiederholen Sie also die letzte Berechnung mit Operatoren,

Ich muss zugeben, dass ich Supersymmetrie noch nicht studiert habe, aber ich denke, dass dies auf der Grundlage allgemeiner Prinzipien geschehen muss.