Kürzlich habe ich gelernt, dass die Clifford-Algebra als Quantisierung der Grassmann-Algebra angesehen werden kann. Dies geht aus den folgenden zwei Arbeiten von Berezin hervor.
'Klassischer Spin und Grassmann-Algebra'
http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1476/article_22521.shtml
'Teilchenspindynamik als Grassmann-Variante der klassischen Mechanik'
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0003491677903359
Ich habe auch bemerkt, dass sie bei klassischen Dirac-Feldern manchmal als Spinoren mit komplexen Werten behandelt werden, manchmal aber als Spinoren mit Grassmann-Werten. Sie werden als komplexwertige Spinoren behandelt, weil sie die Repräsentation der Gruppe sind . Aber wenn wir uns mit der kanonischen und pfadintegralen Quantisierung von Dirac-Feldern befassen, müssen wir sie als Grassmann-wertige Spinoren behandeln.
Wenn es eine solche Darstellung gäbe, macht es dann Sinn, Grassmann-wertige Spin-up- und Spin-down-Zustände in der nicht-relativistischen Quantenmechanik zu konstruieren?
Bei klassischen Dirac-Feldern werden sie manchmal als Spinoren mit komplexen Werten behandelt, manchmal jedoch als Spinoren mit Grassmann-Werten.
Dirac-Felder sollten immer als Grasmann-bewertet behandelt werden, Punkt.
Bei der isolierten Untersuchung eines Spinor-Felds können die Leute davonkommen, es so zu behandeln, als ob es einen komplexen Wert hätte, da das Problem der Anordnung mehrerer Spinor-Felder nicht ins Spiel kommt.
Wenn es andererseits um Spinor-Bilineare geht (und im Übrigen um jeden Ausdruck, der die Multiplikation von zwei oder mehr Spinor-Feldern beinhaltet), ist man verpflichtet, Spinor-Felder als Grasmann-wertig zu behandeln. Ein typisches Beispiel: Der Majorana-Massenterm (der ein bilinearer Spinor ist) ist nur zulässig, wenn die Spinorfelder Grasmann-bewertet sind.
Ein weiteres Beispiel: Man sollte vorsichtig mit Fierz-Identitäten umgehen, bei denen es sich um Terme mit vier Spinorfeldern handelt. Leider wird in solchen Fällen oft die Grasmann-Natur von Spinorfeldern übersehen.
Ryan Thorngren