Warum ist dieser Beweis, dass alle Vier-Fermion-Wechselwirkungen trivial sind, falsch?

Der Text zur Quantenfeldtheorie von Schwartz hat eine interessante Frage, die ich nicht herausgefunden habe:

Betrachten Sie eine Spinor-Wechselwirkung der Form ψ ¯ ψ ψ ¯ ψ . In der Pfadintegralformulierung sind Spinoren Grassmann-Zahlen, sodass diese Wechselwirkung als ein Produkt von Grassmann-Zahlen dargestellt werden würde θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 . Da jedoch die Grassmann-Zahlen antipendeln, ist diese Größe Null; somit bewirkt die Wechselwirkung überhaupt nichts. Ist diese Argumentation richtig?

Die Schlussfolgerung klingt wild – verschwinden diese Interaktionen wirklich automatisch? Was ist los?

Wenn man Jahre später noch einmal darüber stolpert, ist die Sache eigentlich ganz einfach: Wenn die Wechselwirkung zu groß ist, kann man aufgrund des Ausschlussprinzips nicht alle Fermionen an derselben Stelle dazu bringen. Für eine Vierpunkt-Dirac-Fermion-Wechselwirkung benötigen Sie mindestens zwei Dirac-Fermionen am selben Ort, um etwas damit zu tun (dh 2 → 2 Scattering), was möglich ist, da z. B. einer Spin-Up und einer Down-Spin sein kann. Sogar eine Dirac-Fermion-Wechselwirkung an acht Punkten ist möglich (Spin-up, Spin-down und die Antiteilchen-Äquivalente, dh die vier Spinorkomponenten). Mehr ist unmöglich.

Antworten (2)

Das Argument ist im vierdimensionalen Raum falsch. Der Fehler ist die Annahme, dass Sie eine Grassman-Zahl pro Spinor erhalten. Tatsächlich erhalten Sie eine Grassman-Nummer pro Spinor-Komponente! In 4d haben Spinoren mehrere Komponenten. (Beide Weyl-Spinoren haben 2 Komponenten und Dirac-Spinoren haben 4.)

Im 1d-Raum ist dies ein korrektes Argument. In 2d ist es richtig für Weyl-Spinoren, aber falsch für Dirac-Spinoren.

Der Grund, warum Ihre Logik versagt, ist, weil ψ ist nicht einfach eine Grassmann-Variable; es ist ein vierkomponentiger Vektor komplexer Grassmann-Zahlen (in vier Dimensionen):

ψ = ( θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 )
Versuchen Sie es mit diesem Wissen mit dem Rechnen ψ ¯ ψ ψ ¯ ψ und zeigen Sie, dass es nicht generisch verschwindet. Prämie: was ist mit ( ψ ¯ ψ ) 5 ?

perfekt danke! In einem Punkt bin ich noch verwirrt. Vorher dachte ich, Spinoren seien Elemente einer 4-dimensionalen Grassmann-Algebra mit einer Dimension für jede Spinor-Komponente. Ihre Antwort besagt, dass es für jede Spinorkomponente eine separate Grassmann-Zahl gibt, und impliziert, dass wir uns seitdem immer noch in einer 4-dimensionalen Grassmann-Algebra befinden ( ψ ¯ ψ ) 5 verschwindet.
Wenn die Grassmann-Basisvektoren keinen Spinorkomponenten entsprechen, warum gibt es dann 4 davon?
@KevinZhou Warum sagen Sie, dass die Grassmann-Basis nicht den Spinor-Komponenten entspricht? Erinnern Sie sich an die kanonischen Antikommutierungsbeziehungen für Fermionen. Für klassische Körper (das Pfadintegral integriert über klassische Feldkonfigurationen) verschwinden alle Antikommutatoren. In 4 räumlichen Dimensionen hat ein Dirac-Spinor also 4 antikommutierende Spinorkomponenten, daher eine 4-dimensionale komplexe Grassmann-Algebra.
Warum ist dieser Beweis, dass alle Vier-Fermion-Wechselwirkungen trivial sind, falsch?
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