Relative Minuszeichen aus verschiedenen Feynman-Diagrammen

Ich habe ein Problem damit, das Auftreten eines relativen Minuszeichens zwischen Beiträgen zu verstehen, die aus verschiedenen Feynman-Diagrammen stammen und Fermionen betreffen. Ein einfaches Beispiel ist die Bhabha-Streuung e + e − → e + e − . Dieser Prozess kann durch Streuung oder Vernichtung geschehen. Ich kenne das heuristische Argument, wie es zum Beispiel hier und in vielen Büchern erwähnt wird. Ich versuche, dies durch Berechnung mit der S-Matrix-Erweiterung zu verstehen.

Haftungsausschluss: Ich werde eine ziemlich schlampige Schreibweise verwenden, um so schnell wie möglich zu meiner Frage zu kommen.

Wir haben | ich ⟩ = | e + e − ⟩ = C † D † | 0 ⟩ Und ⟨ F | = ⟨ 0 | D C

Der Beitragsteil des S-Matrix-Terms zweiter Ordnung gilt für das Streudiagramm (wobei viele Dinge ignoriert werden).

S A ∝ ( Ψ ¯ − Ψ + ) X 1 ( Ψ ¯ + Ψ − ) X 2

und für das Vernichtungsdiagramm

S A ∝ ( Ψ ¯ − Ψ − ) X 1 ( Ψ ¯ + Ψ + ) X 2

Die entsprechenden Amplituden sind daher (wiederum nur auf die vorzeichenrelevanten Teile konzentriert)

⟨ F | S A | ich ⟩ ∝ ⟨ 0 | C D N { C † C D D † } C † D † | 0 ⟩
Und
⟨ F | S B | ich ⟩ ∝ ⟨ 0 | C D N { C † D † D C } C † D † | 0 ⟩

Ich habe die entsprechenden Seiten in einigen Büchern gelesen, und die Standardmethoden zur Erklärung des Minuszeichens sind:

I Dass wir nun beide Begriffe in gleiche normale Ordnung bringen müssen (Mandl-Shaw)

oder

II dass wir sicherstellen müssen, dass a C steht immer neben einem C † und gleichermaßen für D , dh stellen Sie sicher, dass ein Partikel immer vernichtet wird, nachdem es erstellt wurde, bevor ein anderes Partikel erstellt wird. (Siehe zum Beispiel (Quantenfeldtheorie und das Standardmodell - Schwartz)

Die Verwendung der Anti-Vertauschungs-Relationen zwischen den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren führt für beide Forderungen zu einem relativen Minuszeichen zwischen den beiden Beiträgen. Mein Problem ist zu verstehen, woher die Notwendigkeit für I oder II kommt? Mit anderen Worten: Wenn ich den Anweisungen in den Lehrbüchern folge, bekomme ich das richtige Ergebnis, das dasselbe ist, als wenn ich die eingangs erwähnte heuristische Regel angewendet hätte. Jedenfalls verstehe ich nicht, woher diese Regeln kommen.

Warum müssen wir die Operatoren in beiden Amplituden in gleiche normale Reihenfolge bringen? Oder

Warum müssen wir ein Teilchen vernichten, sobald es erzeugt wurde, bevor ein anderes Teilchen erzeugt wird?

Jede Hilfe oder Leseempfehlung wäre sehr willkommen

Sie müssen die Zustände in die gleiche Reihenfolge bringen, da die beiden Beiträge zur Amplitude auf die gleiche Weise normiert werden müssen, sonst würden Sie Äpfel mit Birnen addieren. Man kann die Amplitude für einen festen wohldefinierten (einschließlich des Vorzeichens) Anfangszustand und Endzustand berechnen. Wenn Ihre andere Berechnung einen anderen Term berechnet, sich der End- und/oder Anfangszustand jedoch um eine ungerade Anzahl von Fermionenaustauschen unterscheidet, müssen der Anfangs- und der Endzustand in die gleiche Form wie der vorherige Term geändert werden, was ein Minuszeichen erzeugt.
Verstehst du warum, für Anti-Pendeln C ich Variablen, 12 C 1 C 2 + 5 C 2 C 1 = 12 C 1 C 2 − 5 C 1 C 2 = 7 C 1 C 2 ? Wenn ja, dann kann ich nicht verstehen, wie Sie die Sache, nach der Sie fragen, missverstehen können.
@LubošMotl das sollte eine Antwort sein
@LubošMotl Ich verstehe warum 12 C 1 C 2 + 5 C 2 C 1 = 12 C 1 C 2 − 5 C 1 C 2 = 7 C 1 C 2 , jedenfalls fügen wir im obigen Fall zwei Amplituden hinzu, die c-Zahlen sind: ⟨ F | S A | ich ⟩ Und ⟨ F | S B | ich ⟩ und ich verstehe nicht, warum wir zum Beispiel nicht hinzufügen können < 0 | C D C † D † C D C † D † | 0 > Zu < 0 | C D C † D † D C C † D † | 0 >
Danke, @DavidZ - Ich war mit meiner Bemerkung nicht ganz zufrieden und wollte wenigstens noch einen Hinweis, was der Stolperstein ist... Vielleicht sehe ich es jetzt.

Antworten (1)

Zuerst die zweite Gleichung beginnend mit S A ∝ … sollte wohl sagen S B ∝ … .

Nun die ersten beiden Gleichungen für die Operatoren S A Und S B welche die relevanten Teile von sind S = S A + S B haben das positive Pluszeichen – die zusätzlichen Faktoren, die weggelassen werden, unterscheiden sich nicht durch ein zusätzliches Vorzeichen, da vor dem ein wohldefinierter Faktor (und Vorzeichen) steht Ψ ¯ Ψ Faktor des Wechselwirkungsterms in der Lagrange-Funktion. Du hast den Koeffizienten weggelassen K A Und K B in den beiden Gleichungen (einige Photonenpropagatoren und andere Dinge).

Ohne den (korrekten) relativen Vorzeichenwechsel wäre die Gesamtamplitude proportional zu K A + K B .

Um fortzufahren (und das Vorzeichen zu korrigieren), genügt es zu beachten, dass in den letzten beiden angezeigten Gleichungen

N { C † C D D † } = C † D † C D N { C † D † D C } = C † D † D C
wobei ich darauf geachtet habe, eine gerade Anzahl von Transpositionen von fermionischen Feldern durchzuführen (die Permutation von D † durch C Und D in der ersten Auswertung oder nichts in der zweiten Auswertung), so dass die Manipulation unabhängig von der Frage ist, ob ( − 1 ) beinhaltet die Vorzeichenwechsel für die Transpositionen oder nicht. Aber der letzte Ausdruck von S B Denn D C = − C D , gleich minus dem ersten (the C D Und D C am Ende ist der einzige Unterschied zwischen den beiden), weshalb nach der Umrechnung alles auf das Vielfache von C † D † C D die immer noch zwischen den (festen) Anfangs- und Endzuständen eingeklemmt ist, erzeugt eine Amplitude, die proportional zu ist K A − K B , mit dem entsprechenden Minuszeichen.

Um „warum I oder II“ zu beantworten, würde ich „warum ich“ wählen. Der Grund, warum wir beide Terme in dieselbe normal geordnete Form bringen müssen, ist, dass wir die Koeffizienten faktorisieren wollen. Aber für A B = − A A wobei das Minuszeichen aus dem einfachen Zählen von Permutationen der Vernichtungsoperatoren im Inneren stammt S (oder Erstellungsoperatoren innerhalb S ), ist das Vertriebsrecht nur möglich, wenn A A kann aus der Klammer herausgenommen werden, dh faktorisiert werden, dh wenn wir konvertieren A B Zu − A A Erste:

K A ⋅ A A + K B ⋅ A B = K A ⋅ A A − K B ⋅ A A = ( K A − K B ) ⋅ A A

Danke für deine Antwort! Nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht habe, glaube ich, jetzt in der Lage zu sein, zu artikulieren, was mich immer noch stört: Ich nehme an, Ihr A A =< F | C † D † C D | ich > Und A B =< F | C † D † D C | ich > ?! Beides ergibt nach meinem Verständnis die Norm des entsprechenden Zustandes. Ich verstehe nicht, warum sie unterschiedlich sind. Mit anderen Worten: Was ist der Grund dafür ⟨ 0 | C D C † D † C D C † D † | 0 ⟩ ≠ ⟨ 0 | C D C † D † D C C † D † | 0 ⟩ ?
Ich verstehe nicht, wie Sie diese Dinge missverstehen können. Sie unterscheiden sich, weil einer von ihnen hat C D irgendwo drin und der andere hat D C . Weil C D = − D C , diese beiden Matrixelemente sind offensichtlich gleich minus einander, oder? Sie können nur dann nicht erkennen, warum sie selbst minus sind, wenn Sie bei allen Zeichen und der ganzen Reihenfolge völlig schlampig sind - aber das ist in der Tat ein schlechter Ausgangspunkt, um sich über ähnliche Minuszeichenprobleme zu vergewissern.
Verstehst du das ( C D ) † = D † C † Aber ( C D ) † ≠ C † D † , Zum Beispiel? Es ist nicht schwer zu sehen, dass eines Ihrer beiden letzten Matrixelemente gleich ist + 1 und der andere ist − 1 , und eine Minute Berechnung mit ( A B ) † = B † A † und die Antikommutierung usw. reicht aus, um zu sehen, was was ist.
Oh ... Sry! Nachdem ich jetzt einen zweiten Blick auf das geworfen habe, was ich geschrieben habe, ist es völlig offensichtlich und ich kann auch nicht verstehen, wie ich es missverstanden habe. Natürlich ⟨ 0 | C D C † D † C D C † D † | 0 ⟩ ≠ ⟨ 0 | C D C † D † D C C † D † | 0 ⟩ offensichtlich! Danke für deine Geduld und deine Hilfe!
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