Gaußsches Integral über Grassmann-Variablen

Ich muss zwei Grassmann-Integrale auswerten, eines über "echte" Grassmann-Variable und eines über komplexe Variablen.

Beginnen wir zuerst mit dem echten:

Der Prototyp, den wir für haben N echte Grassmann-Variablen:

(1) ∫ D N ψ exp ⁡ [ 1 2 ψ T M ψ ]   =   ( det M ) 1 / 2 .

Jetzt können wir die Integrationsvariable verschieben und die Verschiebungsinvarianz der Integration nutzen. Wenn wir ersetzen

(2) ψ → ψ − M − 1 η ,
dann wird das Argument innerhalb von Exponential zu:

[ 1 2 ψ T M ψ ]   ⟶   1 2 ( ψ − M − 1 η ) T M ( ψ − M − 1 η )
= 1 2 [ ψ T M ψ + η T ( M − 1 ) T M M − 1 η   − η T ( M − 1 ) T M ψ − ψ T M M − 1 η ⏟ ]

(3) = 1 2 ψ T M ψ + 1 2 η T ( M − 1 ) T M M − 1 η ⏟ e X T R A + η T ψ .

Dieser "zusätzliche" Begriff sollte verschwinden, aber wie? Ich werde auf dasselbe Problem stoßen, wenn ich dasselbe Gaußsche Integral über komplexe Grassmann-Variablen mache.

Erweitern Sie einfach ψ T M ψ in Bezug auf die Matrixelemente und verwenden Sie die Formeln der Grassman-Integration. Die Determinante sollte aus den Permutationen der Matrixelemente stammen, die in Form des Levi-Civita-Symbols geschrieben werden können.

Antworten (1)

Beachten Sie, dass in Gl. (1) Es wird implizit angenommen, dass die Matrix M ist antisymmetrisch

(A) M T   =   − M .

[Ein symmetrischer Anteil in Gl. (1) würde nicht zum Integranden (1) beitragen.] Der Begriff η T M − 1 η in Gl. (3) verschwindet im Allgemeinen nicht

2 S ( ψ )   :=   ( ψ − M − 1 η ) T M ( ψ − M − 1 η )   = ( A )   ( ψ T + η T M − 1 ) M ( ψ − M − 1 η )
(B)   =   ψ T M ψ + η T ψ − ψ T η − η T M − 1 η .

Das kann man überprüfen, wenn man die verschobene Wirkung (B) bzgl. die Integrationsvariable ψ , erhalten wir wenig überraschend den klassischen Wert

(C) ψ   ≈   M − 1 η ,
die die Verschiebung (2) widerspiegeln, die OP überhaupt durchgeführt hat. Beachten Sie zur Kontrolle, dass die klassische Aktion verschwindet
(D) S ( ψ = M − 1 η )   = ( B )   0 ,
so wie es sollte.

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