Grundlegende Grassmann/Berezin-Integralfrage

Lassen$\theta$bezeichnen eine Grassmann-ungerade Variable.

1. Wenn ein Integral

   $$I~:=~\int\! d\theta\tag{1}$$ auf der Algebra${\cal A}$von Superfunktionen$f(\theta)=\theta a + b$sollte sein

   • ein (gestufter) linearer Betrieb,

   • Übersetzungsinvariante

     $$\int\! d\theta ~f(\theta+\theta_0) ~=~\int\! d\theta~f(\theta),$$

   • und die Ausgabe$\int\! d\theta~ f(\theta)$sollte nicht von der Integrationsvariablen abhängen$\theta$(außer, abgesondert, ausgenommen$a$Und$b$),

   dann ist leicht nachzuprüfen, dass die üblichen Formeln für das Berezin-Integral bis auf einen multiplikativen Gesamtnormierungsfaktor die einzige Möglichkeit sind.

   Interessanterweise bedeutet dies die Berezin-Integration$\int\! d\theta$ist dasselbe wie Differenzierung$\partial / \partial\theta$!

2. Wenn ein bestimmtes Integral

   $$I(\theta_1,\theta_2)~\stackrel{?}{:=}~\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta\tag{2}$$ auf der Algebra${\cal A}$von Superfunktionen$f(\theta)=\theta a + b$sollte sein

   • ein (gestufter) linearer Betrieb,

   • Übersetzungsinvariante

     $$\int_{\theta_1+\theta_0}^{\theta_2+\theta_0}\! d\theta ~f(\theta+\theta_0) ~=~ \int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~f(\theta),$$

   • die Ausgabe$\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~ f(\theta)$sollte nur von den Grenzen abhängen$\theta_1$Und$\theta_2$(außer, abgesondert, ausgenommen$a$Und$b$),

   • und verschwindet bei geschlossenen Konturen

     $$\begin{align}\int_{\theta_1}^{\theta_1}\! d\theta~f(\theta)~=~&0, \tag{i}\cr \left( \int_{\theta_1}^{\theta_2}+\int_{\theta_2}^{\theta_1}\right) d\theta~f(\theta)~=~&0,\tag{ii}\cr \left( \int_{\theta_1}^{\theta_2}+\int_{\theta_2}^{\theta_3}+\int_{\theta_3}^{\theta_1}\right) d\theta~f(\theta)~=~&0,\tag{iii} \end{align}$$

   dann ist es leicht zu überprüfen, dass das bestimmte Integral

   $$\begin{align}I(\theta_1,\theta_2)~\stackrel{?}{:=}~&\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta\tag{2}\cr ~~~\propto~&~~ (\theta_2-\theta_1)\int\! d\theta\tag{2'}\end{align}$$ ist proportional zu$(\theta_2-\theta_1)$mal die übliche Berezin-Integration$\int\! d\theta$.

   Skizzierter Beweis von Gl. (2'):

   $$\begin{align}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~ f(\theta)~=~&P(\theta_1,\theta_2)\cr ~=~&A\theta_1\theta_2+B_1\theta_1+B_2\theta_2+C\end{align}$$ muss ein Polynom zweiter Ordnung sein$\theta_1$Und$\theta_2$(wobei die Koeffizienten$A,B_1,B_2,C$linear abhängen$a,b$). Die Bedingung (i) impliziert$B_1+B_2=0$Und$C=0$, während (iii) impliziert$A=0$. Translationsinvarianz zeigt, dass das Integral nicht abhängen kann$b$.$\Box$

   Dieses bestimmte Integral (2') ist offensichtlich seelisch wertvoll und daher nicht sehr nützlich. Es verletzt auch die naive Erwartung, dass die definitive Integration (2) die Grassmann-Parität umkehren sollte. Außerdem gilt die Regel für die Integration durch Substitution$\theta^{\prime}=t\theta$ist nicht genormt:

   $$\int_{\theta^{\prime}_1=t\theta_1}^{\theta^{\prime}_2=t\theta_2}\! d\theta^{\prime}~f(\theta^{\prime})~~=~~\int_{\theta_1}^{\theta_2}\! d\theta~f(t\theta),$$ dh es gibt keinen Jacobi-Faktor! Aus diesem und anderen Gründen wird das bestimmte Integral (2) normalerweise als schlecht definiert angesehen.

Siehe auch diesen verwandten Math.SE-Beitrag.