Welche Grassmann-Zahlen (gerade/ungerade) werden in Superalgebren verwendet?

Sind Grassmann-Zahlen ein Konzept abgestufter Lie-Algebren oder etwas Spezifisches für Superalgebren? Was sind sie (dh wie sind sie definiert, wichtige Eigenschaften usw.)? Gibt es eine vernünftige Einführung zu ihnen?

Ich denke, was mich ein wenig wundern lässt, ist, da es anscheinend keinen vernünftigen konstruktivistischen Ansatz für diese Entitäten gibt (außer sie als die Entitäten zu akzeptieren, die die erforderlichen Eigenschaften erfüllen), gibt es nichts, was jemanden davon abhält, ins „Konstruktieren“ einzusteigen ' Meta-Superalgebren durch Definition von 'Zahlen' κ ich , so dass z.

κ ich κ J = θ k ( ← Grassmann ungerade ) ,
κ ich κ J κ M κ N = θ P ( ← Grassmann sogar ) .

Also definiere ich solche Zahlen als „Quadratwurzeln“ von Grasmann A -Zahlen. Es scheint, dass nichts diesen Prozess ad infinitum aufhält. Vielleicht fehlt mir eine Eigenschaft, mit der die Algebra geschlossen werden kann, aber ich weiß nicht, was das sein könnte.

Übrigens denke ich, dass dies eine großartige Referenz-Phys.SE-Frage zu diesem Thema ist: "Velvet Way" zu Grassmann-Zahlen .

Antworten (1)

An dieser Stelle möchte ich nur einige allgemeine Bemerkungen machen.

1) Abgestufte Algebren beziehen sich normalerweise auf Z - oder N -abgestufte Algebren, während Superalgebren sind Z 2 -abgestufte Algebren.

2) Grassmann-Zahlen sind ungeradzahlige Superzahlen.

Bitte klicken Sie auf die Links für weitere Informationen, wichtige Objekte und Referenzen.

Verweise:

1) Bryce De Witt, „Supermanifolds“, Cambridge Univ. Presse, 1992.

2) Deligne, Pierre und John W. Morgan, „Notes on Supersymmetry (nach Joseph Bernstein)“. Quantenfelder und Strings: Ein Kurs für Mathematiker (1999). Amerikanische Mathematische Gesellschaft. S. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.

In Bezug auf v3 der Frage. Der κ ich entspricht a Z 4 Einstufung, und es gibt tatsächlich Forschungsarbeiten in diese Richtung. Viele Eigenschaften von Zahlen und Superzahlen lassen sich jedoch nicht leicht verallgemeinern Z N -Bewertung mit N > 2. Zum Beispiel denke ich, dass bereits Berezin gezeigt hat, dass es nicht möglich ist, einen nützlichen Begriff der (Berezin) Determinante von Matrizen mit zu definieren Z N -bewertete Einträge, wenn N > 2.

Danke!, diese Eigenschaft ( θ ich ) 2 = 0 scheint darauf hinzudeuten, dass diese "Zahlen" Nullteiler haben, also frage ich mich, ob es eine Darstellung dieser Zahlen gibt, die Sedenions oder eine andere Algebra mit Nullteilern verwendet? obwohl die unendliche Erweiterung eine unendlich dimensionale Algebra zu implizieren scheint
Welche Grassmann-Zahlen (gerade/ungerade) werden in Superalgebren verwendet?
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