Wie werden Supersymmetrietransformationen überhaupt definiert?

Ich fange gerade an, zum ersten Mal etwas über Supersymmetrie zu lesen, und da stört mich etwas. Supersymmetrie-Transformationen transformieren zwischen bosonischen Feldern und fermionischen Feldern, aber ich sehe nicht, wie dies überhaupt definiert werden kann. Nehmen Sie das folgende einfache Beispiel, das am Anfang der Notizen erscheint, die ich gerade lese. In vier Dimensionen, sagen wir S ist ein reelles Skalarfeld, P ein echtes pseudoskalares Feld ist, und ψ ist ein Majorana-Spinor. Nehmen Sie den Lagrange, um einfach zu sein

L = − 1 2 ( ∂ S ) 2 − 1 2 ( ∂ P ) 2 − 1 2 ψ ¯ ∂ / ψ .

Jetzt, S Und P sind nur echte Felder. (Und es sind wirklich klassische Felder, denn Lagrange-Operatoren sind immer Funktionen klassischer Variablen, selbst wenn wir an QFT interessiert sind.) ψ besteht aus Anti-Pendel-Grassmann-Variablen. So können wir sehen, dass die ψ Das Feld besteht nicht aus dem gleichen Objekttyp wie das S Und P Felder. Mit anderen Worten, S ist eine Funktion

S : R 4 → R
während ich glaube ψ ist eine Funktion
ψ : R 4 → Bestellen Sie 1 Elemente von  G R ( 4 , R )
Wo G R ( 4 , R ) bezeichnet die reelle Grassmann-Algebra mit 4 Generatoren. (Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.) Mit Elementen der Ordnung 1 meine ich Linearkombinationen der vier Generatoren von G R ( 4 , R ) . Als Vektorraum ist dies gleich R 4 .

Wie können wir dann "Supersymmetrie"-Transformationen der folgenden Form betrachten?

δ ε S = ε ¯ ψ δ ε P = ε ¯ γ 5 ψ δ ε ψ = ∂ / ( S + P γ 5 ) ε
( ε ist ein konstanter Majorana-Spinor.) ε ¯ ψ ist jetzt eine Grassmann-Nummer der Ordnung 2, die einfach nicht die gleiche "Art" von Ding ist wie S , was nur eine reelle Zahl ist! Wie wird diese „Transformation“ überhaupt definiert?

Vielleicht verstehe ich nicht, wie ein "klassisches" Fermionenfeld wirklich funktionieren soll oder wie diese Grassmann-Zahlen verwendet werden.

Antworten (2)

Dies ist eigentlich eine eher subtile Frage, die in allzu vielen Lehrbüchern nicht wirklich erklärt wird. Wie Qmechanic sagt, Grassmann-Variablen, dh Elemente der unendlichdimensionalen Grassmann-Algebra Λ ∞ , haben im Allgemeinen Leib und Seele. Jetzt kann man natürlich sagen: Moment mal, ist die Aktion nicht gerecht

S = ∫ D 4 X L ,
und wie kann S eine Seele haben? Die Antwort ist, dass in diesem Zusammenhang die Aktion hier nur etwas ist, das über das Pfadintegral eintritt
Korrelator = ∫ D ψ D ψ ¯ D ϕ D P … exp ⁡ ( ich S ) ,
wo ich Ihr Feld umbenannt habe S Zu ϕ um es von der Handlung zu unterscheiden S . Der wichtige Punkt ist, dass der Korrelator auf der linken Seite nur eine gewöhnliche komplexe Zahl ist und kein Element von Λ ∞ , weil wir im Pfadintegral alle algebraischen Objekte losgeworden sind. Das ist weil ∫ D θ θ = 1 für a-Zahlen. Das Ergebnis ist also in diesem Zusammenhang L und alle Felder sind wirklich Elemente von Λ ∞ , und daher ε ¯ ψ ist etwas, um das man ein Skalarfeld verschieben kann.

Ich verstehe. Das Gesamtwegintegral ist also sowohl ein reguläres Wegintegral als auch ein Berezin-Wegintegral. Die Aktion S nimmt Superzahlen als Eingabe, und unsere Transformation findet innerhalb der Eingaben von statt S , und so ist das Gesamtwegintegral immer noch definiert.
@ user1379857 Ja, so ungefähr ist es. In diesem Zusammenhang ist die Aktion nur ein Objekt, mit dem wir Korrelatoren berechnen können.

Die Grassmann-even-Variablen S Und P sind Superzahlen , die sowohl Körper als auch Seele haben können, nicht nur Körper. Siehe zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Wie werden Supersymmetrietransformationen überhaupt definiert?
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