Grassmann Paradox Verrücktheit

Question

Grassmann Paradox Verrücktheit

Physik
Fermionen
Superalgebra
Grasmann-Nummern
Quantenfeldtheorie
Superraum-Formalismus

Quantenpunkt

Ich stoße auf ein ärgerliches Problem, das ich nicht lösen kann, obwohl mir ein Freund eine Anleitung gegeben hat, wie die Lösung zustande kommen könnte. Hoffentlich weiß hier jemand die Antwort.

Es ist bekannt, dass eine Superfunktion (als Funktion von Raumzeit und Grassmann-Koordinaten) als eine analytische Reihe in den Grassmann-Variablen anzusehen ist, die endet. zB mit zwei Grassmann-Koordinaten $\theta$ und $\theta^*$ , die Erweiterung für die Superfunktion $F(x,\theta,\theta^*)$ ist

F (x, θ) = f (x) + g (x) θ + h (x) θ^{*} + q (x) θ^{*} θ .

$F(x,\theta)=f(x)+g(x)\theta+h(x)\theta^*+q(x)\theta^*\theta.$

Das Produkt zweier Grassmann-wertiger Größen ist eine Pendelzahl, z $\theta^*\theta$ ist ein Pendelobjekt. Eine Verwirrung, die mein Freund für mich geklärt hat, ist, dass dieses Produkt nicht reell oder komplex sein muss, sondern eher ein Element eines „Rings“ (ich weiß nicht, was das wirklich bedeutet, aber was auch immer). Ansonsten ab $(\theta^*\theta)(\theta^*\theta)=0$ , würde ich unbedingt schließen $\theta^*\theta=0$ es sei denn, dieses Produkt befindet sich in diesem Ring.

Aber jetzt bin ich super verwirrt (entschuldigen Sie das Wortspiel). Wenn Dirac-Felder $\psi$ und $\bar\psi$ Erscheinen der QED Lagrangian

L = \bar{ψ} (ich γ^{μ} D_{μ} - m) ψ - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v}

$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ sind antikommutierende (Grassmann-wertige) Objekte, deren Produkt nicht reell/komplexwertig sein muss, dann ist die Lagrange-Funktion keine reellwertige Größe mehr, sondern nimmt einen Wert an, der in den Ring meines Freundes gehört ??? Ich weigere mich, das zu glauben!!

Quantenpunkt

Mein Freund sagte weiter, dass diese Grassmann-Variablen wie Differentialformen sind ... wie schreibe ich den QED-Lagrange in dieser Sprache?

Alexander Nelson

In der Mathematik ist ein „Ring“ (abgeleitet von „Zahlenring“) eigentlich ein Zahlensystem. Sie erhalten keine Division in einem Ring (wenn Sie eine haben, haben Sie einen "Divisionsring" oder wenn zusätzlich eine Multiplikation kommutativ ist, ein "Feld") ... so Ihr Denken

(θ θ^{*}) = 0

$(\theta\theta^*)=0$ ist ungültig.

Alexander Nelson

Beachten Sie auch, dass das Differenzieren und Integrieren von Grassmann-Variablen ziemlich unterschiedlich ist! Sie sind gleich! So werden Sie diese "Grassmannschen Mysterien" in der Praxis los...

Quantenpunkt

@AlexNelson, was bedeutet das über den QED-Lagrangian? Ist es kein realwertiges Objekt mehr?

Benutzer10001

In der klassischen Feldtheorie

ψ

$\psi$ 's sind natürlich übliche Felder mit komplexen Werten. Wenn Sie quantisieren, müssen Sie zwangsläufig verlangen, dass sie Antikommutierungsbeziehungen erfüllen (denn sonst geht in der Quantentheorie einiges schief). Der "Ring" ist also ein Ring von Operatoren im Hilbert-Raum. Wenn Sie jedoch einen pfadintegralen Ansatz für die Quantisierung wählen, müssen Sie behandeln

ψ

$\psi$ als Antikommutierungsvariablen, sodass Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen des Hilbert-Raum-Formalismus übereinstimmen.

Oktay Doğangün

Außerdem könnte es in Ringen Produkte von zwei Nicht-Null-Zahlen geben, die Null sind. Ein einfaches Beispiel sind sogar modulare Ringe,

Z_{2 n}

$\mathbb{Z}_{2n}$ : zum Beispiel ganze Zahlen in mod 4,

Z_{4}

$\mathbb{Z}_4$ , bilden einen Ring mit Addition und Multiplikation, und Sie haben zB

2 \cdot 2 = 0

$2 \cdot 2=0$ aber

2 \neq 0

$2 \neq 0$ .

Verrückter Max

Siehe auch : physical.stackexchange.com/questions/529496/…

Antworten (4)

Grassmann Paradox Verrücktheit

Mein Freund sagte weiter, dass diese Grassmann-Variablen wie Differentialformen sind ... wie schreibe ich den QED-Lagrange in dieser Sprache?
In der Mathematik ist ein „Ring“ (abgeleitet von „Zahlenring“) eigentlich ein Zahlensystem. Sie erhalten keine Division in einem Ring (wenn Sie eine haben, haben Sie einen "Divisionsring" oder wenn zusätzlich eine Multiplikation kommutativ ist, ein "Feld") ... so Ihr Denken $(\theta\theta^*)=0$ ist ungültig.
Beachten Sie auch, dass das Differenzieren und Integrieren von Grassmann-Variablen ziemlich unterschiedlich ist! Sie sind gleich! So werden Sie diese "Grassmannschen Mysterien" in der Praxis los...
@AlexNelson, was bedeutet das über den QED-Lagrangian? Ist es kein realwertiges Objekt mehr?
In der klassischen Feldtheorie $\psi$ 's sind natürlich übliche Felder mit komplexen Werten. Wenn Sie quantisieren, müssen Sie zwangsläufig verlangen, dass sie Antikommutierungsbeziehungen erfüllen (denn sonst geht in der Quantentheorie einiges schief). Der "Ring" ist also ein Ring von Operatoren im Hilbert-Raum. Wenn Sie jedoch einen pfadintegralen Ansatz für die Quantisierung wählen, müssen Sie behandeln $\psi$ als Antikommutierungsvariablen, sodass Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen des Hilbert-Raum-Formalismus übereinstimmen.
Außerdem könnte es in Ringen Produkte von zwei Nicht-Null-Zahlen geben, die Null sind. Ein einfaches Beispiel sind sogar modulare Ringe, $\mathbb{Z}_{2n}$ : zum Beispiel ganze Zahlen in mod 4, $\mathbb{Z}_4$ , bilden einen Ring mit Addition und Multiplikation, und Sie haben zB $2 \cdot 2=0$ aber $2 \neq 0$ .
Siehe auch : physical.stackexchange.com/questions/529496/…

QMechaniker · Answer 1

Eine Superzahl $z=z_B+z_S$ besteht aus einem Körper $z_B$ (was immer dazugehört $\mathbb{C}$ ) und eine Seele $z_S$ (der nur gehört $\mathbb{C}$ wenn es Null ist), vgl. Ref. 1 und 2.

Eine Superzahl kann eine bestimmte Grassmann-Parität tragen. In diesem Fall ist es entweder

Grassmann-gerade/bosonisch/a c -Nummer,

$\text{Grassmann-even/bosonic/a $c$-number},$ oder

Grassmann-ungerade/fermionisch/an a -Nummer,

$\text{Grassmann-odd/fermionic/an $a$-number},$ vgl. Ref. 1 und 2.

^{†}

$^{\dagger}$ Die Buchstaben

c

$c$ und

a

$a$ stehen für kommutativ bzw. antikommutativ .

Man kann eine komplexe Konjugation von Superzahlen definieren, und man kann einer Superzahl eine Realitätsbedingung auferlegen, vgl. Ref. 1-4. Daher kann man von komplexen, reellen und imaginären Superzahlen sprechen. Beachten Sie, dass dies nicht bedeutet, dass Superzahlen zur Menge der gewöhnlichen komplexen Zahlen gehören $\mathbb{C}$ . ZB kann eine echte Grassmann-geradzahlige Superzahl immer noch eine von Null verschiedene Seele enthalten.

Eine beobachtbare/messbare Größe kann nur aus gewöhnlichen Zahlen bestehen (Zugehörigkeit zu $\mathbb{C}$ ). Es macht keinen Sinn, einen seelisch wertvollen Output in einem tatsächlichen physikalischen Experiment zu messen. Eine Seele ist eine Unbestimmte/Variable , dh ein Platzhalter, außer dass sie nicht durch eine Zahl ersetzt werden kann, um ihr einen Wert zu geben. Ein Wert kann nur durch Integration erreicht werden!

Im Detail wird eine Superzahl (die in einer physikalischen Theorie auftaucht) schließlich (Berezin) über die Grassmann-ungeraden (fermionischen) Variablen integriert , sagen wir $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\ldots$ , $\theta_N$ , und der Koeffizient des fermionischen Top-Monoms $\theta_1\theta_2\cdots\theta_N$ wird extrahiert, um eine gewöhnliche Zahl (in $\mathbb{C}$ ), die im Prinzip gemessen werden kann.

ZB die Grassmann-ungeraden (fermionischen) Variablen $\psi(x,t)$ in der QED sollte der Lagrangian schließlich in das Pfadintegral integriert werden.

Verweise:

planetmath.org/supernumber .
Bryce DeWitt, Supermannigfaltigkeiten, Cambridge Univ. Presse, 1992.
Pierre Deligne und John W. Morgan, Notes on Supersymmetry (nach Joseph Bernstein). In Quantenfeldern und Strings: Ein Kurs für Mathematiker, Vol. 1, American Mathematical Society (1999) 41–97.
VS Varadarajan, Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction, Courant Lecture Notes 11, 2004.

--

$^{\dagger}$ In dieser Antwort bedeuten die Wörter bosonisch (fermionisch) jeweils Grassmann-gerade (Grassmann-ungerade).

OK! Der Lagrangian ist also eine echte Superzahl! Ist das korrekt?
Ja, der QED-Lagrangian ist eine echte Grassmann-gerade Superzahl mit einer Seele ungleich Null.
Genial! Nun habe ich eine Frage zu SUSY: Die Superkoordinaten haben folgendes Supersymmetrie-Transformationsgesetz: $(x^\mu,\theta,\bar\theta) \rightarrow \big((x+a)^\mu-i(\theta\sigma^\mu\bar\alpha-\alpha\sigma^\mu\bar\theta),\,\theta+\alpha,\,\bar\theta+\bar\alpha\big)$ . Bedeutet dies, dass der Raum-Zeit-Teil in eine Superzahl umgewandelt wird (mit einer Seele ungleich Null )? erscheint merkwürdig!!!
Ich habe eine Folgefrage, die Sie hier finden können: physical.stackexchange.com/q/40957

Lubos Motl · Answer 2

Lubos Motl

Die Lagrange-Funktion kann sich als real erweisen, aber die einzelnen Faktoren in ihren Begriffen, wie z $\psi$ , sind weder real noch komplex. Sie sind gegen das Pendeln. Es gibt keine "besonderen" Elemente dieser Menge von Anti-Pendel-Zahlen, die man "aufzählen" könnte (außer Null), und sie können nicht als endgültige Vorhersagen für beobachtbare Größen erscheinen, aber es macht dennoch absolut Sinn, Algebra mit ihnen zu machen. Ein Produkt einer geraden Anzahl von Anti-Pendel-Variablen ist das Pendeln, was bedeutet, dass es bestimmte Werte annehmen kann, die gemessen und mit theoretischen Vorhersagen verglichen werden können.

Ich denke, dass ich nicht der einzige bin, der nicht wirklich versteht, wonach Sie fragen, aber es besteht die Möglichkeit, dass die Antwort entweder im vorherigen Absatz oder im folgenden Text steht:

http://motls.blogspot.com/2011/11/celebrating-grassmann-numbers.html?m=1

Achmeteli

Könnten Sie bitte einen Hinweis auf den Beweis geben, dass die Lagrange-Funktion real ist? Vielen Dank.

Lubos Motl

Das steht in jedem Intro zu QFT, das sich überhaupt um solche Nebensächlichkeiten kümmert. Sie brauchen keine Referenz, weil es hier passt. Nehmen

ψ

$\psi$ Als Grassmann-Operatoren ist bekannt, dass die Hermiteschen konjugieren

\bar{ψ} ψ

$\bar\psi \psi$ rückwärts dasselbe, also ist der Massenterm hermitesch. Dasselbe gilt für den kubischen Wechselwirkungsterm, der einen reellen Koeffizienten hat. Der kinetische Term benötigt eine

i

$i$ real zu sein, weil die hermitische Konjugation austauscht

ψ

$\psi$ mit

\partial_{μ} ψ

$\partial_\mu\psi$ und um sie zurückzutauschen, zahlt man ein Minuszeichen für die Fermi-Statistik, was impliziert

- 1

$-1$ aus

i^{†} = - i

$i^\dagger=-i$ .

Quantenpunkt

Ich denke, die Tücke liegt in der folgenden Frage: Wenn

θ

$\theta$ und

ϕ

$\phi$ zwei Grassmann-Variablen sind, macht ihr Produkt

θ ϕ

$\theta\phi$ unbedingt auf eine komplexe Zahl abbilden? Wenn nicht, worauf wird es abgebildet?

Lubos Motl

Lassen Sie mich sagen, dass ich wirklich bewiesen habe, dass das Objekt, wenn Operatoren eingesetzt werden, hermitesch ist, was impliziert, dass seine Eigenwerte real sind. Dieses Arbeiten mit den "vollständigen Operatoren" - mit einer quantisierten Theorie im Operatoransatz - ist ein bequemer und zuverlässiger Weg, um zu entscheiden, wie Grassmann-Zahlen usw. komplex konjugiert werden: Ein Hermitescher konjugiert die Operatoren mit

(A B)^{†} = B^{†} A^{†}

$(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$ und verwendet die gleichen Ergebnisse auch für die Grassmann-Zahlen.

Lubos Motl

Lieber QuantumDot, ja,

θ

$\theta$ mal

ϕ

$\phi$ ist eine komplexe Zahl, also hat das Produkt einen Wert, den Sie "benennen" können, aber

θ

$\theta$ und

ϕ

$\phi$ separat haben keine Werte, die Sie "benennen" können. Hier gehe ich davon aus, dass Sie über die elementarsten Grassmann-ungeraden Variablen sprechen. Man könnte vielleicht auch von den auf Quaternionen basierenden Grassmann-Variablen sprechen, deren Produkt ein allgemeines Quaternion wäre, oder – in der QFT – von Grassmann-ungerade Operatoren, dh fermionischen Operatoren, deren Produkt ein Grassmann-gerade dh bosonischer gewöhnlicher Operator ist.

Quantenpunkt

Danke Lubos, aber wenn

θ ϕ \in C

$\theta\phi\in\mathbb{C}$ und

(θ ϕ)^{2} = 0

$(\theta\phi)^2=0$ (durch Grassmann-Algebra), dann scheint das nahe zu legen

θ ϕ

$\theta\phi$ muss unbedingt null sein. .. irgendwas ist bei meiner Überlegung schief gelaufen...? ( edit: ja, ich spreche von den elementaren Grassmann-ungerade Variablen)

Achmeteli

@Luboš Motl: Was Sie beweisen, ist, dass der Lagrangian hermitianisch ist, aber das bedeutet nicht, dass er real ist. Zum Beispiel,

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ ist hermitesch, aber das bedeutet nicht, dass es real ist. OK, es gibt vielleicht einige Zweideutigkeiten über das Wort "real", aber dem werden Sie sicherlich zustimmen

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ ist nicht realwertig. Das Gleiche gilt, soweit ich das beurteilen kann, für den Lagrange, und das stört QuantumDot.

Lubos Motl

Lieber Quantenpunkt,

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ heißt eigentlich auch eine echte Grassmann-Nummer.

θ ϕ

$\theta\phi$ kann als Ergebnis formal einen komplexen Wert haben, aber Sie versuchen immer noch, bestimmten Werten von Werte zuzuweisen

θ

$\theta$ und

ϕ

$\phi$ . Die Ableitung davon

(θ ϕ)^{2} = 0

$(\theta\phi)^2=0$ legitim ist aber die Ableitung, dass

θ ϕ = 0

$\theta\phi=0$ ist nicht legitim.

Achmeteli

@Luboš Motl: Wie ich bereits sagte, kann es einige Zweideutigkeiten über das Wort "real" geben, aber es gibt keine Zweideutigkeit über das Wort "realwertig". Also, während

θ + θ^{*}

$\theta+\theta^*$ kann "eine echte Grassmann-Zahl" sein, sie ist nicht "reell", mit anderen Worten, sie ist keine (echte) c-Zahl. Und ich denke, darum geht es in der Frage von QuantumDot: Die Lagrange-Funktion ist keine c-Zahl-bewertete Funktion.

Lubos Motl

Entschuldigung, aber die Lagrange-Funktion und insbesondere die durch ihre Integration erzielte Aktion ist zumindest formal eine echte pendelnde C-Nummer. Deshalb erscheint es im Exponenten des Pfadintegrals. Das Pfadintegral selbst ist ein "formales" Integral, in das die Grassmann-Zahlen über Berezin-Integrale integriert werden, und diese Integrale sind genauso sinnvoll wie normale Integrale für Pendelvariablen. Der Grund, warum wir nicht über die Werte der Lagrange-Funktion sprechen können, „für bestimmte Werte von

ψ

$\psi$ " ist nicht, dass die Lagrange-Funktion formal nicht real ist; der Grund dafür ist, dass es keine besonderen Werte von gibt

ψ

$\psi$ .

Lubos Motl

Der vorherige Kommentar behandelt die Quantentheorie mit Grassmann-Variablen. Klassischerweise müssen alle Grassmann-Variablen auf Null gesetzt werden, da sie proportional zu sind

\sqrt{ℏ}

$\sqrt{\hbar}$ aus dem kanonischen Antikommutator und

ℏ

$\hbar$ wird auf Null geschickt. Dennoch können wir die Quantisierung in der ersten-klassischen Näherung diskutieren, genau wie wir es für die Bosonen tun.

Achmeteli

@Luboš Motl: Wenn etwas in einem Exponenten vorkommt, bedeutet dies nicht unbedingt, dass dieses "Etwas" "eine echte Pendel-c-Zahl" ist - wir wissen, wie man Exponenten von zB Superzahlen definiert. Ihre Einschränkung "zumindest formal" kann so ziemlich jede Aussage "zumindest formal" richtig machen, aber sie entfernt jeglichen Inhalt aus jeder Aussage. Ich bestehe darauf, dass die fragliche Lagrange-Zahl streng genommen keine c-Zahl ist, da sie eine "Seele" ungleich Null enthält. Beispielsweise würde in einer Grassmann-Algebra mit einer endlichen Anzahl von Generatoren der fermionische Teil der Lagrange-Funktion verschwinden, wenn er mit allen Generatoren multipliziert würde.

Lubos Motl

Nein, Achmateli, ich habe geschrieben, dass es ein echtes Pendeln sein muss

c

$c$ -Zahl, weil es als Aktion im Exponenten erscheint und sicher sein, dass es wahr ist. Exponenten müssen Grassmann-gerade und im Pfadintegral reell sein, damit die Theorie einheitlich ist, dh die Gesamtwahrscheinlichkeit bewahrt. Völlig unwahr ist auch, dass das Wort „formal“ den Inhalt entzieht. Ganz im Gegenteil, wenn man die Realität und andere Eigenschaften formell sorgfältig bewertet, kommt man zu einem viel genaueren Urteil, als wenn man dies informell tut!

Achmeteli

@Luboš Motl: Es sieht also so aus, als wären wir uns einig, dass der Lagrangian Grassmann-geradzahlig und Grassmann-reell ist, aber nicht reellwertig.

Benutzer30750

Luboš Motl, wie können Sie sicher sein, dass der Massenterm in Dirac Lagrange echt ist? Dirac-Spinoren sind gerade Grasmann-Variablen, daher [ψψbar]† = -ψψbar, erhalten wir das entgegengesetzte Vorzeichen des ursprünglichen Massenterms, also ist es nicht hermitesch? ps: für zwei fermionische Felder A und B, (AB)† = -B†A†.

Achmeteli · Answer 3

Lassen Sie uns zunächst einige terminologische Probleme klären. Wenn die fermionischen Felder in Ihrem Lagrangian Grassmanian sind, bedeutet dies, dass der Lagrange klassisch ist, dh die zweite Quantisierung wurde noch nicht durchgeführt. Sie können einen klassischen Lagrange-Operator unter Verwendung von fermionischen Feldern mit c-Zahl schreiben, aber soweit ich weiß, ist es jetzt allgemein anerkannt, dass man den klassischen Lagrange-Operator mit Grassman-Fermionik-Feldern verwenden sollte.

Ich bin vor einiger Zeit auch auf das Problem gestoßen, das Sie beschreiben. Ich kann mich irren, aber meine Schlussfolgerung war, dass die Lagrange-Funktion aus den Gründen, die Sie in Ihrer Frage angeben, tatsächlich nicht real ist. Andererseits ist es nicht offensichtlich, warum dies unbedingt schlecht sein muss.

BEARBEITEN: Vielleicht hätte ich, um Zweideutigkeiten zu vermeiden, schreiben sollen, dass der Lagrange nicht reell ist

Ihre Schlussfolgerung stimmt mit der Schlussfolgerung meines Freundes überein. Ich fühle mich dadurch sehr verunsichert. Wenn ich den Spannungs-Energie-Tensor berechne, indem ich dem Satz von Noether folge, bedeutet das nicht, dass die Energie auch keinen reellen Wert hat? Was ist los???
Ja, ich kann mich irren, aber es sieht so aus, als ob die Energie auch keinen echten Wert hat. Aber nochmal, warum ist das unbedingt schlecht? Wir sind nicht daran gewöhnt, aber es gibt viele Dinge in der Physik, an die wir nicht gewöhnt sind. Denken Sie daran, dass der klassische Lagrange (und die klassische Energie) nur einige Zwischenstrukturen in der QED sind.
Nicht ausflippen --- die Energie wird nicht wirklich geschätzt, aber der Erwartungswert in jedem Zustand wird wirklich geschätzt. Sie müssen sich daran erinnern, dass diese Grasmann-Dinge klassische Grenzen von Quantenfeldern sind und die Zustände unter Verwendung der Ringelemente konstruiert werden und das Endergebnis, wenn Sie eine Amplitude oder einen Erwartungswert berechnen, immer real ist.

zooby · Answer 4

Eine Sache ist hinzuzufügen, die oft verwirrend ist. Physiker verwenden das Symbol $\psi$ sowohl für die reellwertige Wellenfunktion der Einzelteilchen-Quantenmechanik als auch für das Grassman-wertige Dirac-Feld in der Aktion.

So einen Zusammenhang kann man sehen. Die Wellenfunktion $\psi$ eines Spin 1/2 Grassman-bewerteten Feldes $\Psi$ :

\frac{ψ [Ψ]}{ψ_{0} [Ψ]} = a + \int Ψ (x) ψ (x) d x + \int Ψ (x) Ψ (j) ψ (x, j) d x d j + . . .

$\frac{\psi[\Psi]}{\psi_0[\Psi]} = \alpha + \int\Psi(x)\psi(x)dx+\int\Psi(x)\Psi(y)\psi(x,y)dxdy+...$

Wo $\psi_0[\Psi]$ ist die Vakuumwellenfunktion. Dann $\psi(x)$ kann in gewissem Sinne als die Ein-Teilchen-Wellenfunktion (reellwertig) betrachtet werden.

Wir sehen also nur die Wellenfunktionen $\psi(x), \psi(x,y),...$ sind wichtig und wertvoll. Die Felder $\Psi$ sind nur Platzhalter.

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