Anzahl Grassmann-Generatoren für Dirac-Feld?

Wie viele Grassmann-Generatoren reichen aus, um einen Dirac-Spinor in 4 Dimensionen zu beschreiben? dh das Dirac-Feld ist eine Karte zu Λ N , der Raum der Superzahlen mit N echte Grassmann-Generatoren. Was ist N ?

Dies ist eine Folgefrage zu meiner vorherigen Frage Grassmann Paradox Weirdness . Ich folge Prakashs Buch „Mathemaical Perspectives on Theoretical Physics“ , wo sie eine Superzahl sagen z ∈ Λ N kann man sich die Erweiterung komplexer Zahlen durch den Zusatz von denken N Grassmann-Generatoren ζ 1 , ζ 2 , … ζ N . Die allgemeinste Superzahl wird geschrieben

z = z 0 + z ich ζ ich + 1 2 ! z ich J ζ ich ζ J + … ,
Wo z ich , z ich J , … , sind komplexwertig und antisymmetrisch. Der ungerade Teil davon ist Antikommutierung und wird verwendet, um Fermion-Felder zu beschreiben. Das Buch sagt das für endlich N , es braucht 2 N − 1 komplexe Zahlen, um eine Antikommutierungszahl anzugeben.

Wie finde ich heraus, wie viele Grassmann-Generatoren ζ ich Ich muss einen Dirac-Spinor in 4 Dimensionen spezifizieren.

Ich würde sagen, dass Sie unzählige Grassmann-Generatoren benötigen. Eine für jeden Raumzeitpunkt und jede Spinorkomponente, dann alles verdoppeln für das konjugierte Feld. Dann ist das Dirac-Feld ein Element des Unterraums der Grassmann-Algebra mit nur einem Erzeuger. Also ist das einzige Produkt von Dirac-Feldern, das Null ist ψ a ( X ) ψ a ( X ) = 0 , wobei beide dieselbe Spinorkomponente sind und sich am selben Raumzeitpunkt befinden.
Ich bin mit der Antwort nicht einverstanden. Es ist sehr wahrscheinlich, weil ich Ihre Logik nicht vollständig verstehe. Würden Sie es als Antwort im Detail konkretisieren?
@Heidar Jetzt stimme ich deiner Antwort zu. Bitte posten Sie Ihren Kommentar als Antwort, damit ich ihn akzeptieren kann.
Ich hatte Ihren früheren Kommentar nicht gesehen, entschuldigen Sie, dass ich nicht geantwortet habe. Ich denke, es ist immer gut, @ hinzuzufügen, um sicherzustellen, dass die Leute Ihren Kommentar bemerken. Ich habe eine Antwort mit ein paar weiteren Details hinzugefügt.

Antworten (1)

Für das Dirac-Feld braucht man unzählbar unendlich viele Grassmann-Generatoren. Was wir wollen, ist die folgende Eigenschaft

ψ μ ( X ) ψ v ( X ' ) = − ψ v ( X ' ) ψ μ ( X )
für alle X , X ' , μ Und v , Wo ψ μ ( X ) ψ v ( X ' ) = 0 nur für X = X ' Und μ = v . Mit einer endlichen Anzahl von Grassmann-Generatoren ist dies offensichtlich nicht zu erreichen.

Erstellen Sie eine Grassmann-Algebra mit einem Generator für jeden Punkt X und Komponente μ

Ω ( M ) = ⟨ ζ μ ( X ) | X ∈ M , μ = 1 , … N ⟩ ,
wo die Notation ⟨ A , B , C , … ⟩ steht für eine durch Elemente erzeugte Grassmann-Algebra A , B , C , … Und M ist der Verteiler, auf dem dein Spinor lebt. Ein allgemeines Element dieses Raums ist also z ∈ Ω ( M ) :
z = z 0 + ∫ M D X z μ ( X ) ζ μ ( X ) + 1 2 ! ∫ M D X D j z μ , v ( X , j ) ζ μ ( X ) ζ v ( j ) + … .

Der Spinner ψ μ ( X ) lebt dann im Unterraum Ω 1 ( M ) ⊂ Ω ( M ) mit nur einem Generator. Mit anderen Worten

ψ μ ( X ) = z μ ( X ) ζ μ ( X )
für eine komplexe Zahl z μ ( X ) ∈ C . Dies sichert die Eigenschaft, die wir wollen. Für konjugiertes Feld ψ ¯ μ ( X ) , müssen Sie die Algebra um einen neuen Satz Generatoren erweitern ζ ¯ μ ( X ) und in ähnlicher Weise die Algebra für jeden neuen Satz von Fermionen in der Theorie erweitern.

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