Was versteht man unter fermionischen und bosonischen "Moden"?

Die Terminologie einer Mode eines freien Quantenfeldes$\phi(x)$kommt von der Schreibweise einer Fourier-Transformation, oft auch Modenerweiterung genannt :

$$\phi(\vec x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\left(a(\vec p)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vec x\cdot\vec p} + b(\vec p)^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\vec x\cdot\vec p}\right)$$ wobei bei einem Spinor- oder Vektorfeld weitere Faktoren drin sind, die hier keine Rolle spielen. Die entscheidende Frage ist, ob die Objekte $a$Und $a^\dagger$(und ebenfalls $b$Und $b^\dagger$) kommutieren oder antikommutieren, da sie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für das Teilchen (bzw. Antiteilchen im Fall von sind $b$) dem Feld zugeordnet.

Wenn sie pendeln, ist das entsprechende Teilchen ein Boson – Sie können beliebig viele Teilchen in denselben Zustand stapeln, indem Sie einfach den Erzeugungsoperator viele Male anwenden. Dann sind die Operatoren bosonische Moden . Wenn sie antikommutieren, ist das entsprechende Teilchen ein Fermion - die zweimalige Anwendung des Erstellungsoperators ergibt nur Null, sodass Sie nie mehr als ein Teilchen im selben Zustand haben können. Hier sind die Operatoren fermionische Moden . Sie sind "Moden", weil die Fourier-Transformation eine klassische Schwingung in ihre reinen Frequenzmoden aufspaltet, also nennen wir analog die Objekte, die sie erzeugt, wenn sie auf ein Quantenfeld angewendet werden, "Moden".

In einer leichten Verallgemeinerung nennt man jede Sammlung von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren entsprechend ihrer Vertauschungsbeziehungen bosonische oder fermionische Moden, unabhängig davon, ob sie aus einem Quantenfeld entstanden sind oder nur auf andere Weise gegeben wurden.

Der Begriff Modus wird verwendet, um einen bestimmten Zustand eines Systems zu definieren und kann sich beispielsweise auf seinen Spin, Wellenvektor, Polarisation, Ladung usw. beziehen. Wenn wir ein Boson an Position erzeugen wollten$x$mit einem Aufwärtsspin und mit einem Wellenvektor$k$, können wir den Feldoperator verwenden$\hat{a}^\dagger(x, k, \uparrow)$auf den Vakuumzustand$\vert0\rangle$.

Die klarste Unterscheidung zwischen fermionischen und bosonischen Moden besteht darin, dass die Feldoperatoren, die die ersteren beschreiben, Antikommutatorbeziehungen gehorchen, während die späteren Kommutatorbeziehungen gehorchen. Diese gewährleisten das Pauli-Ausschlussprinzip bzw. die Symmetrierung der Wellenfunktion.