Fock-Raum mit gemischten Anti-Vertauschungs-/Vertauschungsbeziehungen?

Nehmen wir an, wir haben zwei Modi mit der folgenden Beschriftung der Belegungsnummernzustände:

$\lvert \Psi \rangle = \begin{pmatrix} 0,0 \\ 0,1 \\ 1,0 \\ 1,1 \end{pmatrix}$

Ein Beispiel für (was ich annehme) fermionische Erzeugungsoperatoren für die beiden Modi ist

$\hat a_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat a_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Diese Operatoren gehorchen vollen Antikommutierungsbeziehungen.

$\{\hat a_1,\hat a_1^\dagger\} = \{\hat a_2,\hat a_2^\dagger\} = 1$

$a^\dagger_1 a^\dagger_1 = a^\dagger_2 a^\dagger_2 = 0$

$\{\hat a_1,\hat a_2^\dagger\} = \{\hat a_1,\hat a_2\} = 0$

Wenn wir die ($-$).

$\hat b_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat b_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\{\hat b_1,\hat b_1^\dagger\} = \{\hat b_2,\hat b_2^\dagger\} = 1$

$b^\dagger_1 b^\dagger_1 = b^\dagger_2 b^\dagger_2 = 0$

$[\hat b_1^\dagger,\hat b_2^\dagger] = [\hat b_1^\dagger,\hat b_2] = 0$

Es sieht so aus, als hätten wir begonnen, einen Bosonen-Fock-Raum zu konstruieren, aber nur Zustände eingeschlossen, für die die Besetzungszahlen 0 oder 1 sind. Gibt es einen Grund, warum diese Operatoren nicht geeignet sind, außer der Beobachtung, dass alle Elementarteilchen entweder Fermionen oder Bosonen sind? Gibt es Quasi-Teilchen in der Physik der kondensierten Materie, die sich so verhalten?