Quantenstatistik aus den (Anti-)Vertauschungsbeziehungen der Operatoren?

Für eine einzelne Art von Boson / Fermion ohne Wechselwirkungen ist der Hamilton-Operator

$$\begin{align} H &=\sum_k \omega_k a_k^\dagger a_k \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ H &=\sum_k \omega_k c_k^\dagger c_k \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{1} \end{align}$$ mit $$\begin{align} a_ia_j - a_j a_i = 0 \hskip1cm a_ia_j^\dagger - a_j^\dagger a_i &=\delta_{ij} \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ c_ic_j + c_j c_i = 0 \hskip1cm c_ic_j^\dagger + c_j^\dagger c_i &=\delta_{ij} \hskip1cm\text{(fermion)}. \tag{2} \end{align}$$ Der Vakuumzustand$|0\rangle$, mit null Teilchen, erfüllt $$\begin{align} a_k|0\rangle &=0 \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ c_k|0\rangle &=0 \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{3} \end{align}$$ für alle Modi$k$. Jede Anwendung von$a_k^\dagger$oder$c_k^\dagger$in den Vakuumzustand erzeugt ein Teilchen im Modus$k$. Der Betreiber $$\begin{align} N_k &= a_k^\dagger a_k \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ N_k &= c_k^\dagger c_k \hskip1cm\text{(fermion)} \tag{4} \end{align}$$ zählt die Anzahl der Teilchen in der$k$-ten Modus, weil ein Zustand$|\psi\rangle$das befriedigt $$N_k|\psi\rangle=n_k|\psi\rangle \tag{5}$$ hat$n_k$Partikel in der$k$-ten Modus. Um dies zu sehen, verwenden Sie die Gleichungen (2) zum Ableiten $$\begin{align} N_k a_j^\dagger &= a_j^\dagger (N_k+\delta_{jk}) \hskip1cm\text{(boson)} \\ \\ N_k c_j^\dagger &= c_j^\dagger (N_k+\delta_{jk}) \hskip1cm\text{(fermion)}. \tag{5b} \end{align}$$ Ein Zustand, der erfüllt $$H|\psi\rangle=E_\psi|\psi\rangle \tag{6}$$ hat totale Energie$E_\psi$.

Die Adjungierte der unteren linken Gleichung in (2) impliziert$(c_k^\dagger)^2=0$, So$n_k\in\{0,1\}$für Fermionen. Die Boson-Version von Gleichung (2) erlegt keine solche Beschränkung auf, also$n_k\in\{0,1,2,3,...\}$für Bosonen.

So wird dies in der statistischen Mechanik verwendet. Befindet sich das Boson/Fermion-System im thermischen Gleichgewicht mit einem anderen (nicht modellierten) System, dann der Erwartungswert aller Observablen$X$dem Boson/Fermion-System zugeordnet ist

$$\rho(X) = \frac{1}{Z}\sum_\psi e^{-\beta E_\psi} \frac{\langle \psi|X|\psi\rangle}{ \langle \psi|\psi\rangle} \hskip2cm Z\equiv \sum_\psi e^{-\beta E_\psi} \tag{7}$$ wobei die Summe über Zuständen liegt, die (6) erfüllen. Für Photonen erfüllt die Summe über alle Zustände (6). Für ein System von Materiebosonen (oder Fermionen) ist die Summe typischerweise auf Zustände mit einer bestimmten Gesamtzahl von Teilchen beschränkt.

Die Bose-Einsten- und Fermi-Dirac-Verteilungen erhält man, indem man (7) zur Berechnung verwendet$\rho(N_k)$, die durchschnittliche Besetzungszahl in einem gegebenen Modus. Diese Berechnung kann unter Verwendung der Operatoridentität durchgeführt werden

$$H = \sum_k\omega_k N_k \tag{8}$$ zu bekommen $$E_\psi = \sum_k\omega_k n_k, \tag{9}$$ Wo$E_\psi$Und$n_k$sind durch die Gleichungen (5)-(6) definiert. Verwenden Sie dies in (7), um zu erhalten $$\rho(N_k) = \frac{\sum_\psi e^{-\beta E_\psi}n_k}{ \sum_\psi e^{-\beta E_\psi}} \tag{10}$$ was man auch schreiben kann $$\rho(N_k) = -\beta^{-1}\frac{\partial}{\partial\omega_k} \log Z \tag{11}$$ mit der Partitionsfunktion$Z$definiert in (7) betrachtet als Funktion der Energiekoeffizienten$\omega_k$.

Ableitungen der Bose-Einsten- und Fermi-Dirac-Verteilungen in typischen statistischen Mechanikbüchern, wie z. B. Kapitel 9 in Reifs Statistical and Thermal Physics , beginnen mit diesen Zutaten:

• Gleichungen (9) und (11), die Gleichungen (9.2.1) bzw. (9.2.5) in Reif sind;

• die Tatsache, dass$n_k$ist für Bosonen unbeschränkt und beschränkt auf$n_k\in\{0,1\}$für Fermionen (wegen Gleichung (2), wie oben erwähnt), die Gleichungen (9.2.13) und (9.2.15) in Reif sind;

• die Einschränkung (falls vorhanden) für die Gesamtzahl der Partikel$\sum_k n_k$, was Gleichung (9.2.14) und (9.2.16) in Reif ist. Diese Einschränkung führt zu dem gewöhnlich bezeichneten "chemischen Potential".$\mu$.

Die Ableitung ab diesem Punkt ist Standard, daher werde ich sie hier nicht wiederholen.