Warum ignorieren wir bei idealen klassischen Gasen in Bezug auf die Energieniveaus, ob die Teilchen Fermionen oder Bosonen sind?

Ich bin verwirrt darüber, warum beim Umgang mit idealen klassischen Gasen die Abhängigkeit der Teilchen, die entweder Fermionen oder Bosonen sind, ignoriert wird. Wie hängt dies mit den Energieniveaus innerhalb des Systems zusammen?

Ich dachte, es hätte etwas damit zu tun, dass sich ideale klassische Gase bei Temperaturen befinden, bei denen die thermische Energie kT viel größer ist als der Abstand zwischen den Energieniveaus, aber ich bin mir nicht ganz sicher, ob dies der richtige Weg ist, wie ich denken sollte.

Jedes Wissen, das mich in dieser Angelegenheit etwas weniger unwissend macht, wird sehr geschätzt.

Auch im Elektronengas k T ist viel größer als der Ebenenabstand.

Antworten (4)

Denn sowohl die Fermi-Dirac-Verteilung als auch die Bose-Einstein-Verteilung werden durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung im Grenzfall geringer Dichte gut angenähert. Grundsätzlich ist die Annahme hinter dem idealen Gas, dass die Gasdichte niedrig genug ist, dass Kollisionen kein wesentlicher Faktor bei der Beschreibung der Dynamik des Gases sind, was es uns ermöglicht, von der thermodynamischen Verteilung von 1 Teilchen zum Gas überzugehen. Wenn die Dichte zu hoch wird, wird die erste Korrektur normalerweise durch die Van-der-Waals-Gleichung beschrieben . Wenn die Temperatur sinkt oder die Dichte weiter ansteigt, müssen Sie sich Gedanken über die Boson/Fermion-Unterscheidung machen.

Genauer gesagt geht es nicht darum k T verglichen mit einem Energieniveauabstand wird es mit dem chemischen Potential verglichen. Im Detail hat es k T hoch genug das

B E ( E ) = 1 e ( E − μ ) / k T − 1   a n d F D ( E ) = 1 e ( E − μ ) / k T + 1
sind hinreichend angenähert durch
M B ( E ) = e − E / k T .

Beachten Sie, dass die Annäherung nur am unteren Ende "gut" ist ( E < k T ) Wenn μ < 0 .

Für Fermionen ist das chemische Potential die Fermi-Energie oder größer, die durch die Partikeldichte gesteuert wird. Ich habe Probleme, eine Referenz zu finden, wie ich das chemische Potenzial für die Bose-Einstein-Verteilung finden kann. ResearchGate beherbergt ein Diagramm des chemischen Potentials von Helium 3 und 4 bei niedriger Temperatur ( μ / k Ist in der Gegend − 2 und − 7 Kelvin für sie).

Es ist NICHT „haben k T hoch genug"! Die Voraussetzung für die Approximation der BE- und FD-Verteilung durch die Botzmann-Verteilung ist k T << E .
@freecharly Bist du sicher, dass BD und FD in der unteren Temperaturgrenze durch MB gut angenähert werden? Bitte zeigen Sie Ihre Arbeit.
Die Bedingung E >> k T scheint die mathematische Anforderung zu sein, durch die die BE- und DE-Verteilungsfunktionen beide angenähert werden e − E / k T .
Danke, @freecharly, dass du mir geholfen hast, meinen Fehler zu finden. Für was es wert ist, E kann nicht verwendet werden, um Verteilungen als Ganzes zu vergleichen, da es die Variable in der Verteilung ist. Die Parameter k T und μ die Form der Verteilung insgesamt kontrollieren, daher sind sie die einzig gültigen Informationen, wenn die Form der Verteilung diskutiert wird.
Ihre Bearbeitung mit dem chemischen Potenzial macht Ihren Standpunkt jetzt sehr deutlich.
„Die Annahme hinter dem idealen Gas ist, dass die Gasdichte gering genug ist, dass Stöße keinen signifikanten Faktor bei der Beschreibung der Dynamik des Gases darstellen“ – eigentlich sind Stöße wichtig : um Gleichverteilung zu gewährleisten. Was Sie für ein ideales Gas wirklich brauchen, ist eine freie Weglänge, die viel länger ist als die Partikellängenskala, aber immer noch deutlich kürzer als die Systemgröße. Letzteres ist im Allgemeinen bei nahezu atmosphärischem Druck gegeben, besonders oft jedoch nicht im Weltraum, wo Sie immer überlegen müssen, ob die ideale MHD ein geeignetes Modell ist oder ob Sie eine kinetische Beschreibung benötigen.

Eine andere Sichtweise ist, dass der Abstand zwischen Atomen groß ist im Vergleich zu ihrer De-Broglie-Wellenlänge. Dann spielt es keine Rolle, dass man Statistiken von nicht unterscheidbaren Partikeln verwendet - es wäre im Prinzip immer noch möglich, ein Partikel die meiste Zeit zu verfolgen.

Es gibt bereits gute Antworten; Ich werde nur eine andere Möglichkeit hinzufügen, dies zu sehen. Lassen n sei die Anzahl der Teilchen in einem bestimmten Quantenzustand. Mithilfe der Maxwell-Boltzmann-Statistik können Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen p MB ( n ) .

Fermionen modifizieren diese Verteilung, indem sie mehr als ein Teilchen im gleichen Zustand verbieten,

p Fermi ( 2 ) = p Fermi ( 3 ) = … = 0.
Bosonen modifizieren diese Verteilung, indem sie es vorziehen, sich zusammenzuballen, dh man neigt dazu, Gruppen von Bosonen im gleichen Zustand zu sehen,
p Bose ( 2 ) ≳ p MB ( 2 ) , p Bose ( 3 ) ≳ p MB ( 3 ) , …
In allen Fällen der Durchschnitt ⟨ n ⟩ ist gleich, da es die gleiche Anzahl von Gesamtteilchen gibt.

Die Grenze, bei der alle diese Verteilungen gleich sind, ist die Grenze niedriger Dichte ⟨ n ⟩ ≪ 1 . In diesem Fall konzentriert sich die überwiegende Mehrheit der Wahrscheinlichkeit auf p ( 0 ) mit ein bisschen drin p ( 1 ) . Die Änderungen, die die Fermi- und Bose-Verteilungen vornehmen p ( 2 ) und höher sind vernachlässigbar.

Da es für jede Plancksche Konstante des Phasenraumbereichs einen Quantenzustand gibt, ⟨ n ⟩ ≪ 1 ist äquivalent zu

( typischer Schwung ) ( typischer Abstand zwischen benachbarten Teilchen ) ≫ h .
Wie bereits erwähnt, ist dies gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Teilchen durch einen Abstand voneinander getrennt sind, der viel größer ist als ihre de Broglie-Wellenlänge.

Vielen Dank. Ich wünschte, es gäbe mehr als einen grünen Knopf. Alle Antworten waren sehr hilfreich, aber das machte die Dinge für mich wirklich sinnvoller!

Das klassische ideale Gas ist eine Annäherung, bei der die Anzahl der Energiezustände sehr groß ist. (g>>n) Die Teilchen konkurrieren also nicht um den gleichen Energiezustand. Eigentlich ignorieren wir, weil dieser Fall (Teilchen mit gleichem Zustand) sehr unwahrscheinlich ist.

Und wenn die Anzahl der Zustände nicht groß genug ist, müssen wir die Quantenstatistik in Betracht ziehen.

Warum ignorieren wir bei idealen klassischen Gasen in Bezug auf die Energieniveaus, ob die Teilchen Fermionen oder Bosonen sind?
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