Wann genau interagieren identische Fermionen?

Für den Fall von N identische Fermionen in einem dreidimensionalen Kasten erfordert das Pauli-Ausschlussprinzip, dass die Gesamtwellenfunktion des Systems antisymmetrisch ist. Keine zwei Fermionen können im Impulsraum denselben Zustand einnehmen und bilden so eine Fermisphäre, in der niedrigere Energiezustände typischerweise zuerst besetzt sind.

Zwei Elektronen in isolierten unendlichen Wannen können jedoch sicherlich unabhängig voneinander behandelt werden, und beide besetzen einen identischen niedrigsten Impulszustand. Was ist mit zwei Elektronen in endlichen Wannen, deren Wellenfunktionen sich geringfügig überlappen? Was ist mit zwei Elektronen in einem unendlichen Brunnen, der groß genug ist, dass ein kausaler Zusammenhang unterbrochen werden kann? Was ist im Allgemeinen die genaue Unterscheidungsbedingung, die erforderlich ist, um einen Satz identischer Fermionen als interagierend oder nicht interagierend zu behandeln?

Sie beschreiben Überlagerungen, keine Wechselwirkungen. Der Unterschied besteht darin, dass Überlagerungen Wellenfunktionen "addieren", Wechselwirkungen beobachtet werden, wenn Energieimpulse ausgetauscht werden, und im komplex konjugierten Quadrat der streuenden Wellenfunktionen zu sehen sind.

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Lassen Sie uns das im Detail sagen: Betrachten Sie das eindimensionale Potenzial

v ℓ ( X ) = { ∞ X ∈ ( − ∞ , − ℓ − 1 2 ) ∪ ( − ℓ + 1 2 , ℓ − 1 2 ) ∪ ( ℓ + 1 2 , ∞ ) 0     anders

Lassen ψ L , R ( X ) seien Wellenfunktionen für ein im linken bzw. rechten Well zentriertes Teilchen. Dann sind die Wellenfunktionen zweier Teilchen

Ψ ( X , j ) = 1 2 ψ L ( X ) ψ R ( j ) − 1 2 ψ R ( X ) ψ L ( j )

unabhängig vom Wert von ℓ .

Die wichtige Frage ist jedoch, welche Observablen wir berücksichtigen wollen. Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, ein Teilchen im an-Intervall zu finden ICH die zum Beispiel im linken Brunnen enthalten sein soll. Diese Wahrscheinlichkeit ist

P ( ICH ) = 2 ∫ ICH D X ∫ R ∖ ICH D j   | Ψ ( X , j ) | 2   .

Der Faktor 2 vorne entsteht, weil wir über die Regionen integrieren müssen X ∈ ICH , j ∈ R ∖ ICH Und X ∈ R ∖ ICH , j ∈ ICH , aber ihr Beitrag ist derselbe. Aufgrund der Stützeigenschaften des ψ L , R Wellenfunktionen:

P ( ICH ) = [ ∫ ICH | ψ L ( X ) | D X ] [ ∫ R ∖ ICH | ψ R ( X ) | 2 D X ] = ∫ ICH | ψ L ( X ) | D X

wobei in der zweiten Gleichheit die Normalisierung verwendet wurde. Wenn wir also Eigenschaften berechnen wollen, die nur einen Brunnen betreffen, können wir eine Wellenfunktion verwenden, die nur einen Brunnen beschreibt. Beachten Sie, dass es in Wirklichkeit keine unendlichen Brunnen gibt, so dass die Wellenfunktionen einige exponentielle Schwänze außerhalb des Brunnens haben. Dann zerfällt der Fehler, den wir beim Berechnen von Eigenschaften mit Ein-Well-Wellenfunktionen machen, als e − C ℓ , mit C die Größe der Barriere.

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