Antisymmetrische Eigenschaft der fermionischen Wellenfunktion

Ich lese Quantenstatistik aus „Fundamentals of Statistical and Thermal Physics“ von Frederick Reif. Ich habe an zwei Stellen Fragen.
Ich verstehe den folgenden Absatz:

Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermi-Dirac-Statistik) : Dies ist anwendbar, wenn jedes Teilchen einen halbzahligen Gesamtspindrehimpuls (gemessen in Einheiten von h) hat, d. h. 1 2 , 3 2 , . . . (Beispiele könnten Elektronen oder He3-Atome sein). Dann ist die grundlegende quantenmechanische Symmetrieanforderung, dass die Gesamtwellenfunktion Ψ antisymmetrisch sein (dh, dass es das Vorzeichen ändert) unter Austausch von zwei beliebigen Teilchen. In Symbolen

(1) Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ Q J ⋅ ⋅ ⋅ Q ich ⋅ ⋅ ⋅ ) = − Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ Q ich ⋅ ⋅ ⋅ Q J ⋅ ⋅ ⋅ )
Auch hier führt der Austausch zweier Teilchen nicht zu einem neuen Zustand des Gases. Daher müssen die Teilchen bei der Aufzählung der verschiedenen Zustände des Gases wieder als wirklich ununterscheidbar angesehen werden. Aber die Änderung der Anmeldung ( 1 ) impliziert eine zusätzliche Konsequenz: Nehmen wir an, dass zwei Teilchen ich Und J beide im gleichen Einteilchenzustand S , werden vertauscht. In diesem Fall hat man offensichtlich
(2) Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ Q J ⋅ ⋅ ⋅ Q ich ⋅ ⋅ ⋅ ) = Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ Q ich ⋅ ⋅ ⋅ Q J ⋅ ⋅ ⋅ )
Aber da die grundlegende Symmetrieanforderung ( 1 ) muss auch gültig sein, ( 1 ) Und ( 2 ) zusammen implizieren das
(3) Ψ = 0
wenn Partikel ich Und J befinden sich im gleichen Zustand S Im Fermi-Dirac-Fall gibt es also keinen Zustand des gesamten Gases, bei dem sich zwei oder mehr Teilchen im gleichen Einteilchenzustand befinden. Das ist das sogenannte „Pauli-Ausschlussprinzip“.

Nun, ich denke, wenn Fermionen nicht unterscheidbare Teilchen sind, dann sollte der Austausch von zwei beliebigen Teilchen aus zwei verschiedenen Zuständen auch die Wellenfunktion gleich halten: Ich stelle mir das so vor, als hätte ich ein Quantensystem, das aus mehreren Energieniveaus besteht, in die ich Fermionen setze . Wenn ich also zwei von zwei beliebigen Ebenen austausche, dann sieht das System auch ziemlich gleich aus, wie es aussieht, wenn wir versuchen, zwei Fermionen in die gleiche Ebene zu bringen und sie auszutauschen. Im ersteren, also meinem Fall, sollte dann auch die Wellenfunktion folgen ( 2 ) und daher sein 0 . Aber das ist nicht der Fall. Ich glaube, ich mache einen ernsthaften Fehler, wenn ich mir das gesamte Setup vorstelle. Wo liege ich falsch?

HI The Smart Turtle: Ich habe Ihre letzte Frage entfernt. Bitte nur 1 Frage pro Beitrag stellen.
das -1-Zeichen ist eine globale Phase, die keine Auswirkung auf Messungen hat. Ist ein Messgerät

Antworten (1)

Die Wellenfunktionen müssen nicht gleich sein, damit alle Observablen gleich bleiben. Denn alle Observables sind Erwartungswerte.

⟨ Ö ⟩ = ⟨ ψ | Ö | ψ ⟩ = ( − ⟨ ψ | ) Ö ( − | ψ ⟩ )

Was Sie eher bewahren müssen, sind die Wahrscheinlichkeiten, dh

| ψ | 2 = ⟨ ψ | ψ ⟩
Und beachten Sie, dass jede Transformation der Art | ψ ⟩ → e ich θ | ψ ⟩ bewahrt das. Aus diesem Grund sind Symmetrien (Änderungen, die die Physik des Systems erhalten) alle einheitliche Transformationen. Und der Paartauschoperator für ein Fermion gibt ein negatives Vorzeichen (bzw θ = π ).

Aber es steht im Buch geschrieben, dass die Wellenfunktion gleich ist. „damit alle Observablen gleich bleiben“ – wo bleiben sie gleich? Ich messe nichts, ich tausche nur zwei Teilchen aus.
Sie sprechen über alle Messungen, die Sie möglicherweise durchführen können, sie müssen vor und nach dem Austausch gleich bleiben. Beachten Sie, dass alle relevanten physikalischen Messgrößen immer Erwartungswerte sind. Was Sie also bewahren müssen, ist der Erwartungswert. Nicht die Wellenfunktion selbst.
Wenn dies der Fall ist, wie erklären Sie dann die Ableitung des Pauli-Ausschlussprinzips in Bezug auf Erwartungswerte von Observablen? Hier zeigt sich dies durch die intakte Wellenfunktion.
Betrachten Sie den einfachsten Fall, in dem Sie zwei Elektronen im gleichen Zustand haben. Die Gesamtwellenfunktion ist das Produkt der beiden, das die individuelle Funktion im Quadrat ist. Die Regel besagt, wenn Sie Elektronen austauschen, müssen Sie ein Minuszeichen haben. Ein Quadrat, das sein eigenes Negativ ist. Daher muss die gesamte Wellenfunktion gleich ihrem eigenen Negativ sein. Nur wenn es Null ist, ist das möglich.
Antisymmetrische Eigenschaft der fermionischen Wellenfunktion
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