System unterscheidbarer Fermionen

Ihre Intuition ist richtig.

Stellen Sie sich ein System mit einer festen Nummer vor$N$von nichtrelativistischen Teilchen, alle Fermionen. Wenn man den Spin der Einfachheit halber vernachlässigt, ist die Wellenfunktion eines solchen Systems eine Funktion von$N$Punkte im Raum:

$$\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} \psi(\bfx_1,\bfx_2,...,\bfx_N). \tag{1}$$ Wenn die$j$th und$k$te Teilchen die gleiche Spezies sind, dann muss die Wellenfunktion genügen $$\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} \psi(\bfx_{\pi(1)},\bfx_{\pi(2)},...,\bfx_{\pi(N)}) = - \psi(\bfx_1,\bfx_2,...,\bfx_N) \tag{2}$$ für die Permutation$\pi$das tauscht$j\leftrightarrow k$und lässt die anderen Punkte unverändert. Wenn die$j$th und$k$te Teilchen nicht von derselben Spezies sind, dann ist keine solche (Anti-)Symmetrie erforderlich. Insbesondere, wenn wir haben$5$Partikel ($N=5$) aller verschiedenen Arten, dann muss die Wellenfunktion überhaupt keine (Anti-)Symmetrie haben. Die Tatsache, dass die Teilchen alle Fermionen sind, spielt in diesem Fall keine Rolle. Nichts würde sich ändern, wenn sie Bosonen wären – in dem strikt nicht-relativistischen und spinlosen Modell, das wir hier der Einfachheit halber verwenden. (In einem relativistischen Modell können wir den Spin nicht ignorieren, und die Anzahl der Teilchen ist normalerweise schlecht definiert, aber ich werde hier nicht auf diese Komplikationen eingehen.)

Wir können alle Werte von berücksichtigen$N$gleichzeitig den Formalismus der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren verwenden. Der Einfachheit halber immer noch den Spin ignorierend, können wir ein System streng nichtrelativistischer Fermionen mit beschreiben$K$verschiedene Erstellungsoperatoren$a_k^\dagger(\bfx)$für jede$\bfx$, mit$k\in\{1,2,...,K\}$, Wo$K$ist die Anzahl der verschiedenen Arten. Wenn$|0\rangle$ist dann der Zustand ohne Teilchen

$$\int_{\bfx,\bfx'} \psi(\bfx,\bfx') a_1^\dagger(\bfx)a_1^\dagger(\bfx')|0\rangle \tag{3}$$ ist ein Beispiel für einen Zustand mit zwei Teilchen der gleichen Spezies, und $$\int_{\bfx,\bfx'} \psi(\bfx,\bfx') a_1^\dagger(\bfx)a_2^\dagger(\bfx')|0\rangle \tag{4}$$ ist ein Beispiel für einen Zustand mit zwei Teilchen verschiedener Spezies. Die Behauptung, dass die Teilchen alle Fermionen sind, lässt sich mathematisch durch die Forderung ausdrücken, dass alle Erzeugungsoperatoren miteinander antikommutieren: $$a_j^\dagger(\bfx)a_k^\dagger(\bfx') = -a_k^\dagger(\bfx')a_j^\dagger(\bfx). \tag{5}$$ Für Teilchen der gleichen Spezies ($j=k$), impliziert dies sofort das Pauli-Ausschlussprinzip: nur der antisymmetrische Teil von$\psi$ist in (3) von Bedeutung, da das Minuszeichen in (5) jeden Beitrag des symmetrischen Teils eliminiert. Dies folgt aus der Tatsache, dass in (3) das Vertauschen der Indizes dasselbe ist wie das Vertauschen der Punkte. Aber für Teilchen verschiedener Spezies ($j\neq k$), das stimmt nicht mehr, und das Minuszeichen in (5) hat in diesem Fall keine Auswirkung. Tatsächlich kann das Minuszeichen in (5) eliminiert werden, wenn$j\neq k$mit einer Klein-Transformation .