Warum sollte die Wellenfunktion zweier isolierter Bosonen symmetrisch sein?

In der Quantenmechanik gibt es im Hilbert-Raum für identische Bosonen einfach keine unsymmetrisierten Zustände. Per Definition sind alle Zustände zwischen dem Austausch identischer Bosonen vollständig symmetrisch. Es gibt keine willkürliche Regel, die besagt, dass einige Zustände symmetrisiert sind und andere nicht.

Ihr Freund hat also recht: Bei identischen Bosonen ist der Zustand immer symmetrisiert, auch wenn es sich bei dem Zustand um zwei lokalisierte und raumartig voneinander getrennte Bosonenanregungen handelt.

Der Fehler, den Sie machen würden, wenn Sie die Tatsache ignorieren würden, dass der Zustand symmetrisiert ist, wird verschwindend klein sein, wenn die Überlappung zwischen den beiden lokalisierten Wellenfunktionen gering ist. In der Praxis ignorieren wir also oft Bosonen in fernen Galaxien, wenn wir über Bosonen auf der Erde sprechen, und es verursacht keine Probleme.

Ich stimme der Antwort von Andrew zu: Der Hilbert-Raum für identische Bosonen hat nur symmetrische Zustände. Ein weiterer erwähnenswerter Punkt ist, dass, wenn zwei Teilchen identisch sind, jeder Hamiltonoperator, der ihre Dynamik beschreibt, in Bezug auf den Austausch dieser Teilchen symmetrisch ist und daraus folgt, dass sich der gemeinsame Zustand niemals zwischen symmetrischen und antisymmetrischen Formen entwickeln wird. Wenn es also jemals symmetrisch ist, dann wird es symmetrisch bleiben.

Um dies aus einer anderen Perspektive zu betrachten, kann es nützlich sein, sich auf das Konzept eines Quantenfelds zu berufen. Wenn wir Teilchen einzeln behandeln und die Teilchenzahl erhalten bleibt, behandeln wir die Quantenfelder auf vereinfachte Weise. Das kann nützlich sein, aber letztendlich ist die Feldtheorie das genauere und allgemeinere Modell. Und in der Feldtheorie müssen wir einzelne Teilchen nicht markieren. Vielmehr bezeichnen wir Moden und können Erregungsgrade dieser Moden haben. Grob gesagt ist das, was wir ein Teilchen nennen, das Vorhandensein eines Anregungsgrades einer Mode.

Im betrachteten Beispiel haben wir ein bosonisches Feld in einem beschreibbaren Zustand

$$|\psi \rangle = a_i^\dagger a_j^\dagger | 0 \rangle = |0,0,\cdots 0, 1, 0,0, \cdots 0, 1, 0, 0, \cdots\rangle$$ Wo$i$Und$j$Beschriften Sie die Modi, zum Beispiel einen lokalisiert auf der Erde und einen lokalisiert auf Proxima Centuri, und die Einsen in der Liste auf der rechten Seite sind in$i$'th und$j$'ten Positionen. In diesem Ausdruck wird angezeigt, dass der auf der Erde lokalisierte Modus eine Erregung hat (es gibt dort ein „Ding“) und der auf Proxima Centuri lokalisierte Modus eine Erregung hat (es gibt dort ein „Ding“), aber es gibt keine weitere physikalische Unterscheidung -Marke an jedem der beiden Dinge einzeln angebracht. Die Notation erlaubt es nicht, und die Notation spiegelt die physikalische Natur der diskutierten Dinge wider. Wenn man versucht, so etwas zu sagen wie „Der auf der Erde, genannt Mike, ging auf eine Reise nach Promixa Centuri“, dann nimmt man Wörter an, die es nicht schaffen, die mathematischen Behauptungen abzubilden, so dass solche Redeweisen keine gute physikalische Aussage vermitteln Intuition. Es wäre ein bisschen so, als würde man sagen: „Ich sehe, Sie haben da ein paar Joule Energie, und übrigens, Das erste Joule heißt Mike und das zweite Joule heißt Fatima. Die Analogie mit Energie hilft uns, eine Intuition darüber zu bekommen, warum es ein Fehler ist, Etiketten an den Teilchen anzubringen. Tatsächlich sind diese identischen sogenannten „Teilchen“ in dieser Hinsicht ganz anders als die „Teilchen“, die in der Newtonschen Physik vorkommen.

In dieser Formulierung kommt der Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen in die Kommutierungsbeziehungen zwischen den Anhebungs- und Absenkungsoperatoren, die sich ergeben$(a^\dagger)^2 = 0$für Fermionen, aber nicht für Bosonen.

Ich sollte Symmetrie nur einbeziehen, wenn die Überlappung zwischen dem räumlichen Teil ihrer Wellenfunktionen nicht vernachlässigbar ist, und kontinuierlich von einer nicht symmetrisierten Wellenfunktion zu einer symmetrisierten übergehen, wenn sich das Boson von Proxima centauri meinem Boson auf der Erde nähert.

Das kann im Allgemeinen nicht funktionieren, da es bei zwei oder mehr räumlichen Dimensionen möglich ist, bosonische/fermionische Statistiken zu beobachten, selbst wenn die Teilchen nie in die Nähe kommen.

Angenommen, Mike und Fatima beginnen 4 Lichtjahre voneinander entfernt, und dann, basierend auf einem Quantenmünzenwurf, lassen Sie sie entweder dort, wo sie sind, oder lassen sie sich mit derselben Geschwindigkeit auf entgegengesetzten halbkreisförmigen Pfaden bewegen$v$damit sie die Plätze tauschen$2πc/v$Jahre. Nach Ablauf dieser Zeit werden Sie konstruktive, destruktive oder keine Interferenz beobachten, je nachdem, ob es sich um identische Bosonen, identische Fermionen oder nicht identische handelt. Die Teilchen in diesem Experiment sind immer 4 Lichtjahre voneinander entfernt. Das heißt, der Zustand ist zu jeder Zeit eine Überlagerung von Positionsbasiszuständen, von denen sie alle 4 Lichtjahre voneinander entfernt sind.

Es wäre unglaublich schwierig, ein Experiment dieser Art durchzuführen, selbst wenn es verkleinert wäre, aber es ist nach den Regeln der Quantenmechanik erlaubt.