Wie axiomatisch ist die Symmetrisierungsforderung (dh das Pauli-Prinzip)? (im QM)

Question

Wie axiomatisch ist die Symmetrisierungsforderung (dh das Pauli-Prinzip)? (im QM)

Physik
Wellenfunktion
Quantenmechanik
identische Teilchen
Pauli-Ausschlussprinzip

Benutzer35915

Mir wurde bisher immer gesagt, dass die Symmetrisierungsforderung ein Axiom auf der Ebene der Schrödinger-Gleichung und der statistischen Interpretation der Wellenfunktion (bzw. ihres Absolutwerts) ist. Vor einiger Zeit habe ich aber folgende kleine Rechnung gefunden (die ich etwas abgewandelt habe, aber hoffentlich immer noch richtig ist):

Lassen $\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$ sei die Wellenfunktion eines Zweiteilchensystems und $\vec{n_1}$ Und $\vec{n_2}$ seien die Quantenzahlen der Teilchen. Wenn nun die beiden Teilchen identisch (dh nicht unterscheidbar) sind, sollten wir beim Austausch ihrer Quantenzahlen keine Änderungen beobachten können, was uns übrig lässt:

{| Ψ (\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}}) |}^{2} = {| Ψ (\vec{N_{2}}, \vec{N_{1}}) |}^{2}

${\left|\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)\right|}^2={\left|\Psi \left(\vec{n_2},\vec{n_1}\right)\right|}^2$ Jetzt können wir schließen:

Ψ (\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}}) = e^{ich δ} Ψ (\vec{N_{2}}, \vec{N_{1}})

$\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)=\text{e}^{i\delta}\Psi \left(\vec{n_2},\vec{n_1}\right)$ Dh die Wellenfunktion erhält einen Faktor

e^{i δ}

$\text{e}^{i\delta}$ wenn wir seine Argumente austauschen. Ein erneuter Austausch der Argumente lässt uns zurück:

e^{ich 2 δ} = 1 ∴ e^{ich δ} = \pm 1

$\text{e}^{i 2\delta}=1\ \therefore\ \text{e}^{i\delta}=\pm1$ Was im Grunde das Pauli-Prinzip besagt.

Wenn diese Rechnung richtig ist, sollte das Pauli-Prinzip dann nicht eher als Folge der Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen und der statistischen Interpretation denn als Axiom angesehen werden?

Valter Moretti

siehe die Antworten auf physical.stackexchange.com/q/73670

Benutzer35915

Wenn ich Ihre Antwort und die von Joshphysics kombiniere, folgere ich nun, dass im Fall eines Zwei-Teilchen-Systems die Axiome (Pauli-Prinzip und die Annahme, dass sich der Zustand beim Austausch von Quantenzahlen nicht ändert) äquivalent sind. Aber bei einem System mit mehr als zwei identischen Teilchen ist das Pauli-Prinzip „stärker“ und muss daher angewendet werden, damit die Theorie die Natur richtig beschreibt.

JoshPhysik

@ user35915 Selbst im Fall von mehr als zwei Partikeln können Sie meiner Meinung nach ein ähnliches Argument verwenden, um zu zeigen, dass sie im Grunde äquivalent sind, da jede Permutation in ein Produkt von Transpositionen zerlegt werden kann, aber ich habe das nicht durchdacht vollständig.

Benutzer35915

Im Fall von mehr als zwei Teilchen können Sie immer noch zeigen, dass die Wellenfunktion einfach das Vorzeichen unter dem Austausch eines beliebigen Paares ihrer Argumente ändert, aber wenn ich die Erklärung von VM9 habe, besteht das Problem darin, dass Sie nicht zeigen können, dass dies immer der Fall sein wird ändern Sie die Vorzeichen auf die gleiche Weise. Dh wenn ich die Argumente 1 und 2 vertausche, bekomme ich vielleicht ein Minus, aber wenn ich 1 und 3 vertausche, bekomme ich vielleicht ein Plus. Mit anderen Worten: Man kann nicht zeigen, dass die Wellenfunktion VOLLSTÄNDIG symmetrisch oder antisymmetrisch sein muss, wie es das Pauli-Prinzip aussagt. Deshalb habe ich es "stärker" genannt.

Valter Moretti

@ user35915: Ja, du hast es gut verstanden. Auf diese Weise ist es unmöglich zu beweisen, dass Wellenfunktionen mit mehr als zwei Einträgen entweder vollständig symmetrisch oder vollständig antisymmetrisch sein müssen. Die moderne Version des Pauli-Prinzips erfordert eine vollständige Antisymmetrie dieses Zustands

n

$n$ Fermionen, daher entspricht das Argument in der Frage nicht dem Pauli-Prinzip, ist aber schwächer. Insbesondere kann sie nicht zwischen Statistik und Parastatistik unterscheiden.

Valter Moretti

Ich denke, es lohnt sich, meine eigene Antwort hinzuzufügen, um die von Ihnen erwähnte Tatsache zu betonen, dass das Pauli-Prinzip stärker ist als das in der Frage vorgeschlagene Argument.

Antworten (3)

Wie axiomatisch ist die Symmetrisierungsforderung (dh das Pauli-Prinzip)? (im QM)

Wenn ich Ihre Antwort und die von Joshphysics kombiniere, folgere ich nun, dass im Fall eines Zwei-Teilchen-Systems die Axiome (Pauli-Prinzip und die Annahme, dass sich der Zustand beim Austausch von Quantenzahlen nicht ändert) äquivalent sind. Aber bei einem System mit mehr als zwei identischen Teilchen ist das Pauli-Prinzip „stärker“ und muss daher angewendet werden, damit die Theorie die Natur richtig beschreibt.
@ user35915 Selbst im Fall von mehr als zwei Partikeln können Sie meiner Meinung nach ein ähnliches Argument verwenden, um zu zeigen, dass sie im Grunde äquivalent sind, da jede Permutation in ein Produkt von Transpositionen zerlegt werden kann, aber ich habe das nicht durchdacht vollständig.
Im Fall von mehr als zwei Teilchen können Sie immer noch zeigen, dass die Wellenfunktion einfach das Vorzeichen unter dem Austausch eines beliebigen Paares ihrer Argumente ändert, aber wenn ich die Erklärung von VM9 habe, besteht das Problem darin, dass Sie nicht zeigen können, dass dies immer der Fall sein wird ändern Sie die Vorzeichen auf die gleiche Weise. Dh wenn ich die Argumente 1 und 2 vertausche, bekomme ich vielleicht ein Minus, aber wenn ich 1 und 3 vertausche, bekomme ich vielleicht ein Plus. Mit anderen Worten: Man kann nicht zeigen, dass die Wellenfunktion VOLLSTÄNDIG symmetrisch oder antisymmetrisch sein muss, wie es das Pauli-Prinzip aussagt. Deshalb habe ich es "stärker" genannt.
@ user35915: Ja, du hast es gut verstanden. Auf diese Weise ist es unmöglich zu beweisen, dass Wellenfunktionen mit mehr als zwei Einträgen entweder vollständig symmetrisch oder vollständig antisymmetrisch sein müssen. Die moderne Version des Pauli-Prinzips erfordert eine vollständige Antisymmetrie dieses Zustands $n$ Fermionen, daher entspricht das Argument in der Frage nicht dem Pauli-Prinzip, ist aber schwächer. Insbesondere kann sie nicht zwischen Statistik und Parastatistik unterscheiden.
Ich denke, es lohnt sich, meine eigene Antwort hinzuzufügen, um die von Ihnen erwähnte Tatsache zu betonen, dass das Pauli-Prinzip stärker ist als das in der Frage vorgeschlagene Argument.

JoshPhysik · Answer 1

Dieses Argument ersetzt nur ein Axiom durch ein anderes.

Es geht davon aus, dass, wenn ein Quantensystem aus identischen Teilchen besteht, sich der Zustand des Systems unter Austausch von Quantenzahlen nicht ändern sollte (es wird mit einer Phase multipliziert).

Obwohl dies (vielleicht) eine intuitivere Denkweise über Zustände identischer Teilchen ist, ist es immer noch eine starke Annahme im Modell, die nicht aus den anderen Axiomen folgt.

Tatsache ist, dass Sie, egal was Sie tun, einige zusätzliche logische Eingaben benötigen, um mit Systemen identischer Teilchen umzugehen.

Ján Lalinský · Answer 2

Das Axiom, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte symmetrisch ist:

| ψ (R_{1}, R_{2}) |^{2} = | ψ (R_{2}, R_{1}) |^{2}

$|\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)|^2 = |\psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1)|^2$ nur impliziert

ψ (R_{1}, R_{2}) = e^{ich δ (R_{2}, R_{1})} ψ (R_{2}, R_{1}) (*)

$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = e^{i\delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)}\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)~~~(*)$

Wo $\delta(\mathbf{a},\mathbf{b})$ ist eine beliebige reelle Funktion von $\mathbf{a},\mathbf{b}$ . Das bedeutet es nicht $\delta$ ist über den gesamten Konfigurationsraum konstant $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 \in \mathbb{R}^6$ und so ist es im Allgemeinen nicht möglich, zu erhalten

e^{ich 2 δ} ψ

$e^{i2\delta} \psi$ nach Anwendung des Transpositionsoperators auf (*). Was stattdessen erhalten wird, ist

ψ (R_{2}, R_{1}) = e^{ich δ (R_{1}, R_{2})} ψ (R_{1}, R_{2})

$\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1) = e^{i\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)}\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ Aus diesen beiden Beziehungen folgt

e^{ich δ (R_{1}, R_{2})} . e^{ich δ (R_{2}, R_{1})} = 1

$e^{i\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)}.e^{i\delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)} = 1$ So

δ (R_{1}, R_{2}) + δ (R_{2}, R_{1}) = k .2 π

$\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) + \delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1) = k.2\pi$ aber daraus folgt nicht

e^{i δ}

$e^{i\delta}$ hat einen eindeutigen Wert für alle

r_{1}, r_{2}

$\mathbf r_1,\mathbf r_2$ .

Um symmetrische und antisymmetrische Funktionen zu erhalten, muss man stärkere Annahmen treffen. Wenn wir beispielsweise annehmen, dass alle Vielfachen der Wellenfunktion denselben Zustand darstellen, und postulieren, dass die Transposition den Zustand nicht ändert, dann haben wir

ψ (R_{1}, R_{2}) = e^{ich δ} ψ (R_{2}, R_{1}) (*)

$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = e^{i\delta}\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)~~~(*)$ mit

δ

$\delta$ konstant und der Rest des üblichen Arguments kann zur Ableitung verwendet werden

e^{i δ} = \pm 1

$e^{i\delta} = \pm 1$ .

Valter Moretti · Answer 3

Die moderne Version des Pauli-Prinzips erfordert eine vollständige Antisymmetrie eines Zustands $n$ Fermionen. Stattdessen impliziert das im Hauptteil der Frage diskutierte Argument nur, dass ein Zustand von $n$ Fermionen müssen unter Vertauschung eines Teilchenpaares entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein . Auf diese Weise ist es unmöglich zu beweisen, dass der Gesamtzustand entweder vollständig symmetrisch oder vollständig antisymmetrisch ist, da verschiedene Teilchenpaare im Zustand unterschiedliche Eigenschaften haben könnten, was zu einer sogenannten Parastatistik führt. Tatsächlich sind Parastatistiken in der 1+3-Dimension als Folge der Poincaré-Kovarianz der Theorie verboten (es ist das berühmte Spin-Statistik-Theorem ).
Siehe auch meine Antwort auf Ist das Symmetrisierungspostulat nach Landau Lifshitz unnötig?

Ist der Link in der Frage richtig? Ich sehe keine Antwort von Ihnen auf diese Frage physical.stackexchange.com/q/73670/81224

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