Zwei-Partikel-System

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Warum ist bei einem System mit zwei Teilchen (09:30) seine Wellenfunktion ein Produkt der Wellenfunktion jedes Teilchens? Z.B

ψ ( X 1 , X 2 ) = ψ A ( X 1 ) ψ B ( X 2 )

Für nicht unterscheidbare Teilchen (16:12) verstehe ich nicht ganz, wie der Autor zu dieser Gleichung gekommen ist:

ψ ( X 2 , X 1 ) = ± ψ ( X 1 , X 2 )

Er erwähnt etwas über komplexe Phasen und kommt durch die zweimalige Anwendung des Austauschoperators wieder dorthin zurück, wo wir angefangen haben, was bedeutet, dass die Phase, mit der wir multiplizieren müssen, 0 oder ist π .

Zuletzt noch einmal für nicht unterscheidbare Partikel, wie ist er darauf gekommen:

ψ ( X 1 , X 2 ) = A [ ψ A ( X 1 ) ψ B ( X 2 ) ± ψ A ( X 2 ) ψ B ( X 1 ) ]

Ich verstehe die Summe, da die Teilchen nicht unterscheidbar sind und daher entweder eine Dachfunktion haben können ψ A oder ψ B aber ich verstehe die subtraktion nicht.

Antworten (3)

Bei Frage 1 kommt es auf die Wahrscheinlichkeit an. Ich habe zwei unterscheidbare Teilchen, A Und B . Die Wahrscheinlichkeitsdichte, Partikel zu finden A bei X 1 Ist

P A ( X 1 ) = Ψ A ( X 1 ) Ψ A ∗ ( X 1 ) ,
und wir haben einen ähnlichen Ausdruck für Teilchen B bei X 2 . Die Wahrscheinlichkeitsdichte, Partikel zu finden A bei X 1 und Teilchen B bei X 2 ist nur das Produkt der Wahrscheinlichkeitsdichten P A , P B . Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist dann
Ψ ( X 1 , X 2 ) Ψ ∗ ( X 1 , X 2 ) = Ψ A ( X 1 ) Ψ A ∗ ( X 1 ) Ψ B ( X 2 ) Ψ B ∗ ( X 2 )
Für jede komplexe Zahl ist das Konjugierte nur eine Multiplikation mit einer Phase entfernt:
( A + B ich ) ∗ = e ich a ( A + B ich )
a kommt drauf an A Und B . Ab hier kann ich dann schreiben
Ψ ( X 1 , X 2 ) = Ψ A ( X 1 ) Ψ B ( X 2 ) e ich ϕ
Aber die letzte Phase ist irrelevant, also erhält man nur das Produkt einzelner Wellenfunktionen.

Bei Frage 2 kehren wir wieder zur Wahrscheinlichkeit zurück. Wir wissen, dass wir Teilchen nicht unterscheiden können A Und B . Dann

Ψ ( X 1 , X 2 ) = e ich ϕ Ψ ( X 2 , X 1 )
Wiederholen Sie dieselbe Formel erneut für X 2 , X 1 wir bekommen
Ψ ( X 2 , X 1 ) = e ich ϕ Ψ ( X 1 , X 2 )
. Wenn wir es in die vorherige Formel einsetzen, haben wir
Ψ ( X 1 , X 2 ) = e ich ϕ Ψ ( X 2 , X 1 ) = e 2 ich ϕ Ψ ( X 1 , X 2 )
Dies ergibt e 2 ich ϕ = 1 oder e ich ϕ = ± 1 . Deshalb Ψ ( X 1 , X 2 ) = ± Ψ ( X 2 , X 1 ) . Die Gesamtwellenfunktion ist also entweder symmetrisch (+) oder antisymmetrisch (-).

Zur letzten Frage: Wir fangen an, das zu sagen Ψ ( X 1 , X 2 ) ist eine Linearkombination von Ψ A ( X 1 ) Ψ B ( X 2 ) Und Ψ A ( X 2 ) Ψ B ( X 1 ) , damit wir schreiben können

Ψ ( X 2 , X 1 ) = A Ψ A ( X 1 ) Ψ B ( X 2 ) + B Ψ A ( X 2 ) Ψ B ( X 1 )
oder das Äquivalent
Ψ ( X 2 , X 1 ) = A [ Ψ A ( X 1 ) Ψ B ( X 2 ) + e ich ϕ Ψ A ( X 2 ) Ψ B ( X 1 ) ]
Ähnlich wie bei der vorherigen Frage erhalten wir das e ich ϕ muß sein + 1 oder − 1 . Die Wahl des Vorzeichens hängt von der Symmetrie der Gesamtwellenfunktion ab (wenn Teilchen Bosonen oder Fermionen sind)

So B = A e ich ϕ während a=A? Wie haben Sie sie erhalten?
Ich habe das vermutet (ich habe es nicht bewiesen - aber es sollte einfach sein). | A | = | B | . Sie erhalten dies, indem Sie die Wellenfunktion normalisieren. Mir ist jetzt egal was A Und B Sind. In der Tat, auch nach dem Erhalten B = ± A , A ist bisher nur bis zu einer komplexen Phase bekannt
Wie bist du Ψ ( X 1 , X 2 ) = e ich ϕ Ψ ( X 2 , X 1 ) oder Ψ ( X 2 , X 1 ) = e ich ϕ Ψ ( X 1 , X 2 ) ? Ist es verwandt Ψ ( X 1 , X 2 ) = Ψ A ( X 1 ) Ψ B ( X 2 ) & Ψ ( X 2 , X 1 ) = Ψ A ( X 2 ) Ψ B ( X 1 ) und wie hast du zwischen ihnen konvertiert?
Es hängt mit der Wahrscheinlichkeit zusammen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die beiden Wellenfunktionen ist gleich, sie unterscheiden sich also nur um eine komplexe Konstante der Größe 1
Warum nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind, damit Sie sie miteinander multiplizieren können?
Es ist nicht immer wahr. Es gilt genau dann, wenn der Hamiltonoperator separabel ist. Das bedeutet nicht wechselwirkende Teilchen.
Hier gibt es einige schwerwiegende Fehler: Die erste Gleichung sollte das Integral nicht enthalten. Wenn Sie sich integrieren X 1 dann kann das Ergebnis nicht davon abhängen X 1 mehr. Komplexe Konjugation wird nicht durch einen Phasenfaktor dargestellt. Es ändert das Vorzeichen von ich : So ( A + ich B ) ∗ = A − ich B . Dem Rest danach ist nicht zu trauen.
@flippiefanus Ich habe die Wahrscheinlichkeit in Wahrscheinlichkeitsdichte geändert. Danke für den Hinweis. Beim zweiten Teil Ihres Kommentars liegen Sie falsch. Wenn zwei komplexe Vektoren dieselbe Größe haben (und komplexe Konjugierte tun dies), dann unterscheiden sie sich nur durch eine komplexe Phase. Wie in der Antwort erwähnt, hängt die Phase vom Real- und Imaginärteil ab.
Nun, in diesem Fall würde die Phase davon abhängen X 1 Und X 2 und dann funktioniert die Ableitung vielleicht nicht ganz so, wie du sie zeigst.

Wenn der Zustand zweier Teilchen das Tensorprodukt der beiden Einzelteilchenzustände ist, dann ist die Wellenfunktion der beiden Teilchen das Produkt der beiden Einzelteilchen-Wellenfunktionen.

Für nicht unterscheidbare Teilchen ist es eine experimentelle Tatsache, dass der Endzustand entweder symmetrisch oder antisymmetrisch in Bezug auf den Austausch der beiden Teilchenkoordinaten sein muss.

Für den ersten Teil Ihrer Frage können Sie meine Antwort hier überprüfen https://physics.stackexchange.com/a/566506/226827

Für Ihren zweiten Teil der Frage bezüglich des Minuszeichens können Sie Intuition erhalten, indem Sie dieselben Teilchen nehmen, dh x1 = x2

Wenn Sie dies tun, wird Ihre Wellenfunktion Null, was genau die Eigenschaft von Fermionen ist, dass keine zwei Fermionen im selben Zustand sein können.

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